Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Это значит, что вдоль прямых линий, отделяющих область Dx о* области D2,
имеются вихревые слои.
Точно также из формул (39.17) ясно видно, что на тех же линиях и давление
терпит разрыв, величина которого в точках й ^2
39] обтекание цилиндра 651
уделяющих Cj or равна.
p2-pl = %(V\-2UVl\ =
— — [jU2 (К 2 — l) = — 0,414р(У2. (39.19)
Если бы мы определили давление в задней части течения D2 формулой
+ (/2— 1)Р?/2, (39.20)
отличающейся от формулы (39.17) только постоянным слагаемым, то давление
на всём контуре С менялось бы непрерывно, но всё-таки на линиях KXLX и
K2L2 (рис. 186) давление продолжало бы терпеть разрыв.
Приведём теперь таблицу XI, дающую значения VJU и ?
в точках контура С:
Таблица XI
8° к, и р 8° 7, и р
0 0,000 1,000 90 1,414 —1,828
9 0,280 0,922 99 1,274 —1,548
18 0,552 0,696 108 1,217 —1,434
27 0,807 0,349 117 1,183 —1,366
36 1,038 0,076 126 1,160 —1,320
45 1,236 —0,528 135 1,144 —1,288
54 1,395 —0,946 144 1,133 —1,266
63 1,507 —1,270 153 1,125 —1,251
72 1,563 —1,443 162 1,120 —1,240
81 1,551 —1,405 171 1,117 —1,235
90 1,414 —1,000 180 1,116 —1,233
Наконец, применяя формулу (38.7), мы можем вычислить сопротивление,
испытываемое цилиндром при его движении, в виде
ТС
Х = ра f V2! cos ddO, (39.21)
ТС
7
Что после численного интегрирования даёт нам сопротивление
«7=1,31 pU2a. (39.22)
652
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Это значение слишком велико по сравнению с экспериментальными данными и
объясняется тем, что в то время, как распределение давления на передней
части цилиндра довольно хорошо соответствует опытным данным, давление на
задней части цилиндра, вычисленное по формуле (39.17), оказывается
чересчур низким. Производя вычисление давления по исправленной формуле
(39.20), мы должны во всех точках задней части цилиндра увеличить
давление на 0,414р(/2. В результате получается уменьшение сопротивления
на 0,414р(У2 • 2а — 0,83р(У2а и, следовательно, в этом случае мы будем
иметь
W = 0,48р U4, (39.23)
что гораздо лучше соответствует опытным данным.
§ 40. Обтекание плоской пластинки. В качестве второго примера применения
уравнений теории исчезающей вязкости рассмотрим обтекание прямолинейной
пластинки. Пусть пластинка КХК2 длины 21,
наклонённая к оси Ох под углом а, движется параллельно оси Ох со
скоростью U (рис. 188).
Отобразим внешность контура КХК2 на внешность единичного круга в
плоскости Z так, чтобы точка Кх перешла в точку I,
а точка z — оо перешла в точку Z = оо. Для этого надо взять
z=Jw{z~Jr)' И0.1)
при этом точка К2 переходит в точку Z = — i (рис. 189). Построим теперь
вспомогательное течение «^ = <рг-f-по условиям (39.2). Полагая по-
прежнему
— е-1тю (г) =* & -И In V (40.2)
^ 40] ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ 653
и рассматривая о> как функцию от Z, легко найдём значения & в точках
окружности единичного радиуса. В самом деле, векторы скорости
вспомогательного течения имеют, очевидно, направления, указанные на рис.
188. При этом точка разветвления потока С нам пока неизвестна.
Итак, граничные условия для функции 0 таковы:
(40.3)
fr1 = iT для —тс<0<—у и -|-<0<;я>
= а для f < 9 < ^»
&j = 7t + a для —y < 0 < у,
где у—аргумент точки С', соответствующей в плоскости Z точке С.
Применение формулы (39.7) сразу определяет нам функцию ш:
Т “
. . 1 Г е* + Z 1 Г е® + Z ,й
u>(z)~—/ it - ——dd— / тс——3-—dd —
w 2n J ел—Х 2n J e’°— Z
e"
1C
7
1C
7
1 Г eir> + Z . ,Q
1C
'7
где p — вещественная произвольная постоянная. Но
Г— 0 4- In (eie — Z)1 —& —f + —In
L i Jo=a i
o=a i Z—ea
причём берётся то значение логарифма, которое при Z = оо приводится к
нулю. Поэтому после простых вычислений получим:
, . Зтс -f- 2a ~4~ 2у , .. Z — i^i Z —т . .q
Подставляя сюда ? = оо, Z== со, получим
, Зте-}-2а-{-2у _
0)(оо) = -3д-+..|‘.±.?1+ф, =егМ»)=Г<"-5-~+Э.
и так как вследствие граничного условия на бесконечности (39.2) Должно
быть
(dWi\ а-Ы+\а и
654
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
1ГЛ. II
а с другой стороны f должна лежать в интервале (—я/2, те/2), то
необходимо взять
р = 1п?/. Т = у — а.
Итак, мы получаем следующее окончательное выражение для функции ш(г):
, ч , .. II I .1 Z.— /г-'7 . га . Z—/ .
со (г) — тс -j- i In U -ф-1 In—^ —|- — In z . (40.4)
Для комплексной скорости вспомогательного течения мы находим:
dw,
. g-ivx.z — — (J
Z —ie~H / Z —iU
\z+T) '
dz “ Z
Введём ещё одну переменную С, положив
Z—i
(40.5)
Z + i >
при этом внешность единичного круга в плоскости Z переходит в верхнюю
полуплоскость С, точка О' в 1, точка К\ — в О, точка О' в —1. Между z и С
существуют простые соотношения
z = le‘
= 1/^5
\ 1е'«
+ г
(40.6)
1 + С2
Окончательно для комплексной скорости абсолютного движения в области ?),
мы найдём после простых вычислений следующее выражение:
AJ
da>
dT
dw
dz
?M
— e-'a(c«cosf — C* sin^)
1е‘” -
a i le— z\ 2ti . a
COS — -----:----------- — SHI —
2 \ -f- z j 2 \ /e'o -f- z
a 1
^ \2«*T
(40.7)
Чтобы выяснить характер течения на бесконечности, лучше исходить из
формулы (40.5); замечая, что
