Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
значения их(Ь):
/(*) =
i/«?<“>
с/6 -J- га:
J.
2п
- f (в) — — f + га; (39.6)
w 1W r. J aelb — z
в этой формуле а есть произвольная вещественная постоянная.
Формула Шварца годится и для интересующего нас случая, когда Функция (6)
в нескольких точках терпит конечный разрыв: а именно в этом случае
граничное значение вещественной части функции / (z) будет равно иг(0) во
всякой точке контура единичного круга, в кото-Р°й «i(0) непрерывна.
646 ДВИЖЕНИЕ вязкой жидкости [Гл
Итак,
(й = & + / In V = — ~ J 9, (9) db -)- га. (Зд-7)
— ГС
Подставляя в эту формулу z— со, найдем:
к
w (оо) — J 9 j (6) db -j- г'а.
— ТС
Но по формулам (39.5):
ТС
— f &1(0)d9 = it.
— 7t
Следовательно,
ш («э) = тс —[— г'а, (-—т-M °°) = — еа.
С другой стороны, вследствие граничного условия на бесконечности (39.2)
должно быть
сначит мы должны принять
а — In U.
Теперь формулы (39.7) и (39.5) позволяют написать:
2к J ае18 — z '* \ 2 ) аел — z
4-1 f (JL^b)^l±±M + mut
271,/ / ae">— z
0 N 1
ОБТЕКАНИЕ ЦИЛИНДРА 647
§
поэтому получаем следующее окончательное выражение для функции м
inv =
тс
= i/е5г7м- (39'9)
ТС
~~2
причём берётся то значение логарифма, которое при z = оо обращается в 0.
Исследуем прежде всего характер течения на бесконечности. Мы имеем при \z
\ > 1 разложение:
со
мВ+?=-1+ ^ = ^1_2у 4^т0;
.tt* » / п \ —Л тп 9
НО
2
f Ве^ М =2 if 6 sin Я0 dB = 21 [- = 2 :
поэтому
. ПК ПК пг.
sin - g cos -g-
п2
2 ^ . ПК ПК ПК
sm "2 2" C0S “2"
[в** + *М=-4/V.
J ае10 — г
л=1
2
далее
со
"??!=?—О +?)-*.„(. - f)-SK‘ -«?f )5=
« = 1
значит при |д| > 1
СО
»(z)=«+iinu-<5;(i-^rsin^)5-=
= ,+ „„?/-/(1-4)1-^-... (39.10)
Отсюда
*Ч.==е-Ш*) = - ?/J i ?_ .. .1
йгг \ я гг )
648
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. JJ
и окончательно, обозначая через w = tp -)- комплексный потенциал
абсолютного движения в области D1( будем иметь:
dw
dz
dw,
чг 1
^ ~ 7t ^ Г ‘ ‘ (39,llj
Эта формула показывает, что далеко перед телом течение имеет такой же
характер, как если бы оно происходило от источника находящегося в начале
координат и имеющего мощность
Q = 2aU{% — 2) = 2,283аН.
(39.12)
Теперь найдём распределение скорости вдоль цилиндра. Для этого нам нужно
найти мнимую часть функции о)(а) при г = ае‘®\ Мы имеем:
е-о„
aei!> + ае
Iв0
+ е
0-0о
2
ае‘й — ае1'
- i
0-ео
I Ctg
Чтобы иметь дело только со сходящимися интегралами, сделаем сле« дующее
преобразование:
&
I
6 ава + *.дв
ае!° — г
= + /(е-90)^4±?л =
J ае‘н—z J аел—z
z + ai
db.
причём мы воспользовались двумя последними формулами (39.8) Положим
теперь в формуле (39.9) z — aein« и отделим мнимые части
замечая, что при z = aeir>° мы имеем
аеы \ = 2 а
sin -
и что, следовательно, z2 -f а2
Re In
(,г-ay
Re In
(.z-a)*
z — ai
z -j- ai
s'n (~2 t) sin (т + t)
п2 ДО.
sin
S39]
ОБТЕКАНИЕ ЦИЛИНДРА
649
мы легко получим следующее выражение логарифма абсолютной величины
скорости вспомогательного течения при г — аекк
In Vj = 1 п Л/ 1 п
sin -
+^(6o-f)ln|sin (-t-t)I-“ Т (8о + т)ln I sin (т- ?+" т) I +
?
+ / (0 — 0О) ctgr
те
Если ввести нечётную функцию
в
/ (в) = J a ctg a da, о
то будем иметь:
те
1
к /(0 — 6°)ctg
(39.13)
(39.14)
4 2
I—0„
db:
4 / actga
dCL:
те 0о
’ Т“
те оо J-J
те Од
т+т
= f/ “Ctgada+kf actgada = f(j.
о о
Поэтому получаем следующую формулу:
Vl = Ue^~'^ + f^+'^ X
On
*Мт+?)-
X
sin
1п(4--т)|’'~2|51п(т-+т)Г’1~2- (39Л5)
Нас интересуют значения 0О в промежутке (— тс, тг); из предыдущей формулы
следует, что для вычисления Vx необходимо знать значения функции /(8) в
интервале (0, Зтс/4); эти значения даны в таблице IX (см. стр. 607).
Отметим попутно, что / (тс/2) = In 2.
После этого мы можем вычислить значения Vx\ в частности, при = тс/2 мы
имеем VX — UY2-
Принимая, далее, в расчёт формулы (39.1), (39.3) и (39,5), мы найдём
следующие выражения для значений д<?[дх и dyjdy на
i_
к 2
650 ДВИЖЕНИЕ вязкой жидкости
контуре цилиндра:
<?ср
дх ~
1ТЛ. „
-------------Vx-\- U, =?= 0 для
<б<
2 ’
• Vj cos 0 для — ~ <1 о I
4*-= V, sin 9 + 1/. -JU
дх 1 1 ду
= — V. sin 6 + U, = V, cos 9 для О + 6 + ~ .
дх 1 1 ду 1 ^ ^ 2
(39.16)
По формулам (37.22) мы можем затем определить распределение давления на
контуре С:
Р-
Р-
|0/2-
?Vj)
для 0 <1 9 <
2 ’
?2UVX) для -^ < 8 j
(39.17)
Что касается распределения скоростей внутри области течения, то,
определив по формуле (39.9) 9 и У, мы будем, на основании
(39.1), (39.3) и (37.18), иметь
Таблица X
0° /(8) 6° /(0)
0 0,000 72 0,650
9 0,100 81 0,682
18 0,198 90 0,693
27 0,293 99 0,680
36 0,382 108 0,636
45 0,465 117 0,554
54 0,539 126 0,424
63 0,601 135 0,228
(39.18)
следующие формулы:
vx = V cos 9 + U,
vy — V sin & в D2,
vx = V cos & + U + Vj,
Vy = V sin & в D2, )
причём берётся значение Vx в той точке контура С2, которая имеет ту же
ординату у, что и точка М области D2 в которой опреде-ляется vx.
При переходе из области D% в область Ъ2 составляющая ско-
рости vx терпит разрыв, величина которого равна
(+)„ K = UY 2.
