Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Производя несложные выкладки, Линь показывает, что первые члены этих
разложений для Xi. /2, Хз- Х4 как Раз совпадают с теми функциями /1( /2,
/3, /4 соответственно, которые даны были в равенствах (3.19), (3.26), и
попутно получает возможность уточнить путь интегрирования в квадратурах,
участвующих в этих формулах. Отсылая за подробностями к цитированной
статье Линя, укажем лишь, что путь интегрирования должен, по Линю,
удовлетворять условию:
7л , . 7л
?-g-CargtVlX тг
(3.37)
43*
676
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ, JII
Обратимся теперь к собственно краевой задаче. Случай I движения между
двумя параллельными пластинками удобно подразделить на два подслучая.
Дело в том, что возмущение всегда можно разбить, вследствие линейности,
на две независимые части — симметричную по отношению к линии у — 1
(середина расстояния между пластинками) и антисимметричную.
В случае I удобнее записать краевые условия не для у = 0 и у—2, а для у =
0 и у=\. При этом в случае, назовём его Г, когда /(у) симметрично, мы
должны написать:
/ (0) = /; (0)э/'(1) = Г(1) = 0.
В случае Г', когда / антисимметрично, — мы должны записать:
/(0) = /'(0) = /(1) = Г(1) = 0.
Наконец, для случая II движения в пограничном слое мы, как и выше,
напишем:
/(0) = /'(0) = 0, /'(у) + «/(у) = о
для
у>1; f (со) < со.
В качестве четырёх линейно независимых решений мы примем наши функции fv
/2, /3, /4 определённые выше.
Тогда вековое уравнение для случая Г будет иметь вид:
А (0) А (0) /з(0) /4(0)
А (°) /2(°) /з(°) А(о>
/;(i) А(!) /зН) /;с о
/ГО) /ГО) /ГО) /ГО)
0.
(3.38)
Для случая I" мы должны будем написать:
А(0) /2(0) /з(0) А(0)
А (о> /И°) /;(0) /цо)
A(i) /а(1) /з(1) /4(1)
/20) /з(1) /Ю)
? 0.
(3.39)
Наконец, в случае II мы должны отбросить /4 как решение, не ограниченное
на бесконечности и написать:
Л(0)
/; с©)
/2( 0)
т
/з(0)
/з(°)
/;o)+*/iO) /;о)+«/2о) о
: 0.
(3.40)
устойчивость течения между пластинками
677
Соотношения (3.38), (3.39), (3.40) значительно упрощаются для больших
значений aR. Используя выражения (3.26) для Д и /4, мы можем записать:
/Ъ—А(у)е~у и f4 = B(y)ev, где А и В — величины порядка единицы, а
V -
У____________
: J V aR (и
с) dy.
В определителе (3.38) удобно поделить все члены третьего столбца на
/з(0). а все члены четвёртого столбца на /4(0). Мы можем записать затем:
/Л 0)
/з (0) /.1(1) /з(0)
/з'О)
/з (0)
f\ (0) Л(0)
/д(1)
— Y— aRc
л'О)
21(0)
А' (0) . А (0) ’
/frRjl _с)_?0Г|в-
3 |[/aR(l_c)]2 ^g-+0(aR)}e-P,
]/=~aR/-' в'ф)-•J /aR^r
В{0) • 6(1)
Л(0)
А (0) I
?с)
6(0)
КШ\ер 6(0) Г ’
[aR (1 — с)]2
0 (aR)) ер
(3.41)
где
Р — f Va.R (U — с) dy.
Пренебрегая теперь в определителе (3.38) членами порядка е~р или 1/aR по
сравнению с единицей, приведём уравнение (3.38) к виду:
/у, (а, с) _ /3 (0)
6, (а, С) /з (0)
где
Д (0) /2(0) 1/1(0) /1(0)
Д>(a, с) = /;(i) ДО) ; №0 = |/;0) /1(1)
(3.42)
(3.43)
причём F2 и F4 не зависят от R, ибо мы принимаем за fx и /2 гх
представления с помощью (3.19), (3.20) (Ту0-’ и Д0’).
44 Теоретическая гидромеханика, ч. II
678
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. II!
Аналогичным образом, преобразуя определитель (3.39) ^для чего
,./3(1) /4( 1) /зО) /10) \
надо будет сперва записать еще -(Г-7?г- , , >? , мы
/3 1.0) /4 [О) /з [U) /4 (U) /
придём к равенству:
Л (з. с) _ /3 (0)
/% (а- с) /з (°)
где
F,(а, с) =
А (0) А(0) /i(i) A(i)
(3.44)
(3.45)
а имеет прежнее значение.
Наконец, обращаясь к случаю II, мы должны преобразовать (3.40). Мы
получим после простых выкладок:
Fa 4- a F,
/з (0)
'Н + ^З /з(0) где Fv F2, F4 имеют значения, приведённые выше, а
А(0) /'(0)
АО) /2(1)
(3.46)
(3.47)
Правые части равенств (3.42), (3.44), (3.46) одинаковы и зависят от a, R
и с. Левые части — все различны, но зависят лишь от а и с, но не
от R (по самому смыслу построения функций fv /2,
участвующих в Fv F2. F3, F4).
Преобразуем сперва левые части наших равенств. Вследствие
(3.19), (3.20):
/г(0) = -с, /2(0) = 0, }
А(0) = с/', /'(0) = -i, J (3'48)
где. I/o
dU
dy h=
у=0
. Поэтому мы можем написать:
I
F1 (а, c) = — cf2( 1);
F2(а, с) = —с/'(1).
Н3(а, c) = Z7o/2(l) +j/i(l);
(3.49)
§ 3]
УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ МЕЖДУ ПЛАСТИНКАМИ
679
Величины /j(l), /2( 1), /|(1). /20) должны быть вычислены с по мощью
интегралов (3.20). Именно:
Дальнейшие преобразования удобно делать для тех или иных конкретных видов
U (у), а не в общем виде. Правая часть может быть преобразована к удобной
форме для всех случаев сразу. Мы могли бы грубо представить, по (3.41),
выражение f3(0)ff'3(0) для больших aR в виде
Однако величина с оказывается иногда малой, и тогда даже при больших aR,
пользоваться этой формулой нельзя. Следует обратиться непосредственно к
точным решениям (3.35). Мы получим теперь:
/1(1) = (1-с){1 -f- а2Л2 (1) -)- а4/г4 (1) -(- ...},
Л(1) = (1-с){?1(1) + «2?3(1)+ •••}>
1 J
[ Г 1 - 11“
/2С1) — Т^с"1 1 *2 / ^ dy-\- ... ) ~Ь /2(^)-
I L о J
/з (0) /з(°)
У~аКс '
/з(0)
4(0)
3
со
оо
оо
3
