Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
42 Теоретическая гидромеханика, ч- Ц
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
А. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
§ I. Введение. По-видимому, Га ген (Hagen) первый, производя опыты с
водой, движущейся в цилиндрических трубках, заметил, что характер
движения внезапно меняется, если, увеличивая постепенно скорость течения,
мы перейдём через некоторый предел. Именно, при движениях со скоростями,
меньшими, чем этот предел, струи имеют вид твёрдых стержней, но, как
только этот предел перейдён, движение сразу становится неравномерным, и
струи начинают разбиваться и пульсировать. Г а ген обратил внимание также
и на то, что переход потока из одного типа в другой может быть ещё
получен путём изменения коэффициента вязкости (температуры) или радиуса
трубки. Однако, Гагену не удалось подметить здесь общего принципа. Это
сделал Осборн Рейнольдс, показав, что переход одного типа движения в
другой совершается, когда безразмерная величина E/r/v (U — средняя
скорость, г — радиус трубки, v — кинематический коэффициент вязкости)
переходит через некоторую границу. Новый, беспорядочный тип движения,
который при этом возникает, получил название турбулентногоJ), число Ur/v
было названо впоследствии числом Рейнольдса (см. гл. II) и стало
обозначаться буквой R, а то значение R, начиная с которого возникает
турбулентное движение, — критическим значением Rft. При этом плавное
движение с R <R* получило название ламинарного.
Многочисленными экспериментами было установлено, что Rft меняется в
зависимости от того, как эксперимент обставлен. Именно, если в начальном
потоке было очень мало возмущений, то, увеличивая постепенно число
Рейнольдса, мы придём к турбулентному движению нескоро, так что RA будет
велико, напротив, если основной поток сильно возмущён, Rft имеет малое
значение. Заметим ещё, что в то время, как, по-видимому, нет оснований
считать, что существует верхняя граница для Rй (используя всё более и
более спокой-
‘) Термин «турбулентность» был предложен Кельвином.
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ЦИЛИНДРАМИ
659
ный начальный поток, будем отодвигать RA всё далее и далее), можно
утверждать, что есть граница нижняя. Это значит, что каково бы ни было
начальное возмущение, оно потухнет, не переходя в турбулентное движение,
если R меньше некоторого числа.
Мы говорили о турбулентном движении в трубах (так называемая внутренняя
задача); не меньший интерес представляет изучение турбулентности при
обтекании (внешняя задача); наконец, в отличие от турбулентности
механического происхождения, можно говорить о турбулентности
происхождения термического (например, о турбулентности, возникающей в
воздухе близ поверхности земли при отсутствии ветра, но при неравномерном
нагревании почвы), или о турбулентности смешанного, термическо-
механического происхождения (теплотехнические задачи, общая атмосферная
турбулентность).
С точки зрения теоретической гидромеханики (так же как и с точки зрения
эксперимента) проблема турбулентности распадается на две части: 1)
изучить, при каких условиях и как возникает турбулентность (например, при
каких условиях ламинарное движение в трубе переходит в турбулентное или
как образуются турбулентные струйки в неравномерно нагреваемом воздухе),
2) изучить уже развитый турбулентный поток.
Первый из этих вопросов совершенно естественно связать с проблемой
устойчивости, отождествляя возникновение турбулентности с потерей
устойчивости.
Мы рассмотрим в следующих параграфах некоторые относящиеся сюда работы.
§ 2. Устойчивость движения между двумя коаксиальными цилиндрами. Чтобы
установить устойчивость или неустойчивость движения, прибегнем к методу
малых колебаний, накладывая на движение («основной поток») бесконечно
малые нестационарные возмущения; если эти возмущения будут иметь характер
малых периодических колебаний (или затухающих со временем), будем считать
основной поток устойчивым; напротив, если возмущения будут расти со
временем — можем считать основной поток неустойчивым.
Тейлор первый дал пример такого ламинарного течения, которое может при
известных условиях стать неустойчивым !). Он рассматривал колебания,
обладающие осевой симметрией и наложенные на движение, происходящее между
двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами.
В качестве основного потока возьмём движение со скоростями
?
vr, — vZj — 0; vfi — Ar-j- —
l) Taylor G., Stability of a Viscous Liquid contained between two
rotating Cyliders, Proc. Roy. Soc. (A), 223 (1923), стр 289, далее, Proc.
Int. Cong. Appi. Mech. Delft (1924) и Z A. M, М., 5 (1925), стр. 250.
660
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
1ГЛ. in
(Z — ось цилиндров, г — расстояние от оси,
-скорость, касатель-
ная к окружности радиуса г с центром на оси), причём подберём А и В так,
чтобы описать движение между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов гх и
г2, вращающимися с угловыми скоростями Wj и ш2 соответственно. Тогда
должно быть (см. главу II, § 15):
л . в /?1«)1 = Лг1 + —;
