Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
u, = -Rg$a). (24.7)
Ъи
Это уравнение аппроксимирует дифференциальное уравнение -------------- =
bt
2
-г - с точностью 0(т,/7 ). Одновременно (24.7) можно рассматривать Э s
как разностную аппроксимацию другого дифференциального уравнения,
Ъи ^ Ъд 0 Ъ2д
- = - г ------ + (а -0,5) тг2 (24.8)
Эt bs bsbt
со вторым порядком О (г2, h2). Уравнение (24.8) называется первым
дифференциальным приближением разностного уравнения (24.7). Член порядка
О (г) можно трактовать как дополнительную вязкость
Ъд
to = -(а-0.5)г (24.9)
bt
Коэффициент аппроксимационной вязкости зависит от параметров а и г.
Действие этой вязкости особенно заметно при расчете по неявной разностной
схеме (а = 1) быстро изменяющихся решений (например, ударной волны) с
большим шагом по времени. В этом случае аппроксимационная вязкость
приводит к дополнительному размазыванию фронта ударной волны, причем ее
действие аналогично линейной искусственной вязкости.
5. Построение разностной сетки. В численных расчетах часто встречаются
ситуации, когда целесообразно использовать неравномерные сетки. В § 20
уже отмечалось, что для повышения точности численного решения в области
резкого изменения параметров шаг разностной сетки нужно уменьшить -
"сгустить" сетку. Кроме того, для правильной аппроксимации, очевидно,
необходимо выбирать шаги рази<стной сетки малыми по сравнению с
характерным размером задачи.
Во многих задачах астрофизики, помимо характерной длины, равной размеру
расчетной области, имеются внутренние характерные размеры,
(d\ny - 1
--J , где под
функцией у следует понимать газодинамические параметры. Если мы выбираем
шаг разностной сетки по эйлеровой переменной Ar^L, то тем самым
отказываемся от детального рассмотрения процессов внутри данной области.
149
Для иллюстрации рассмотрим внешнюю оболочку звезды-атмосферу. Будем
предполагать ее достаточно тонкой по сравнению с радиусом звезды. Тогда
уравнения неразрывности и движения можно представить в виде
, dr 1 du _ dP
Rl ---------- =---------, = -Rl-f, (24.10)
ds p dt ds
GM0
где f=-r ускорение силы тяжести. Переменные г и s отсчитываются
Rl
от нижней границы атмосферы, где г = 0, s = 0. В равновесном состоянии: и
= 0, Р - Р0( 1 ) , где Р0 - давление в основании
атмосферы, Sq -
- \ *о/
RlP° с
= --- . Если атмосфера состоит из идеального газа с постоянной
температурой, то плотность также распределена по линейному закону:
P = P°(l-jj. (24.11)
/-1
Введем по массовой координате s равномерную сетку 5/ = s0 Разност-
N- 1
ная аппроксимация уравнения неразрывности (24.10) позволяет определить
соответствующие шаги сетки по эйлеровой переменной
h s0 Н
-------------------------- . (24.12)
Р/Яо / - 1 \ N-i
РоГ -
и Р о
где Н -характерный масштаб изменения плотности, который часто
fpo
называют высотой однородной атмосферы.
Из формулы (24.12) видно, что при выборе равномерной сетки в массовых
лагранжевых координатах расстояния между соседними узлами сетки в
эйлеровых координатах вблизи верхней границы оказываются порядка
внутреннего характерного размера Н. Очевидно, что для получения хорошей
точности в расчетах необходимо выбрать шаг сетки так, чтобы
соответствующая величина в эйлеровых координатах была мала по сравнению с
Н. Для выполнения этого условия сетку следует выбрать неравномерной.
Основное требование при построении неравномерной разностной сетки
заключается в близости величин соседних разностных интервалов. На сильно
неравномерных сетках нарушается аппроксимация производных.
Рассмотрим для примера разностную аппроксимацию второй производной:
(24.13)
Л/
Отметим, что разностный оператор (24.13) аппроксимирует в уравнении
энергии член, соответствующий процессам теплопроводности. Погрешность
150
аппроксимации (24.13) имеет вид
/ э2*Л ¦. ~2hi+hi-i / <>2у\ , H-11/-I / э-V \ ,
\ Эх2 /, 4Л, ( 9s2Л 6Л, \ Эх-1 / '
(24.14)
Как видно, погрешность аппроксимации в случае произвольной неравномерной
сетки уже не 0(h2), как это имеет место для равномерной сетки, а О (1).
Однако если соседние шаги сетки несильно отличаются, то первые два члена
в правой части невелики.
На практике весьма полезным оказывается способ построения неравномерной
сетки, в котором укрупнение или дробление сетки осуществляется по закону
геометрической прогрессии hi+l = qhi со знаменателем q, близким к
единице.
Тогда коэффициенты в (24.14) имеют вид
Л/+, -2Л,•+/",_, 9-2+- {q_-i)2
А =-
_________________________________________Я______________________
4 Л,- ^ 4 q
5 ^ hif
6/7, 6
и, например, если дг = 1,1: А - 0,002, В = 0,035/7,.
В настоящее время не существует общих методов оптимизации распределения
узлов сетки. В этом направлении делаются только первые шаги (Б.П. Пирсон,
П. Кутлер, 1980). Поэтому основным методом повышения точности служит
проведение серии расчетов на последовательности сеток. Сначала проводят
предварительный расчет на грубой сетке, после чего выбирается новая сетка
так, чтобы в областях сильного изменения параметров шаг сетки был
