Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
f'(x)
номер итерации. Итерации повторяют до достижения заданной точности. Метод
Ньютона можно представить как последовательное построение касательных к
кривой у = f (х) (рис. 47). Точка пересечения касательной, к к +
I
проведенной в точке х, с осью х определяет значение х . Метод Ньютона
к + 1 к
обладает высокой (квадратичной) скоростью сходимости: | х - х | <
к к - | 2
< const | х - х | .В случае системы п уравнений с п неизвестными
f\ -,/) = О,
применение метода Ньютона приводит к итерационному процессу, в котором на
каждой итерации нужно решить систему линейных уравнений:
к к к
df{ к + \ к 3f{ А +1 к df { /М1 к к
-- ( X, - X, ) + -- ( х2 - Х2) + ... + -- ( х" - Х") = - f, ,
ОХ 1 ОХ 2 OX fi
к к к
bfп к + 1 к bfп к + J к dffl к* I к к
-- ( X, -X,) + -- ( х2 - х2) + . . . + -• ( х" - х") = -f".
OX j ОХ 2 ОХ а
Все производные вычисляются по значениям аргументов на предыдущей
итерации. Решить систему линейных уравнений можно известными методами
линейной алгебры (например, методом исключения Гаусса) .
В дальнейшем для сокращения записи будем использовать обозначение
к ¦+ I к + I к
6 х/ = х/ - X/. (23.3)
Рассмотрим подробнее применение метода Ньютона к решению системы
уравнений газодинамики (22.31). Запишем эту систему уравнений следующим
образом:
/ + 1 / "/ + 1
-u.+tr;
4irGs.
+ Т -7ГГ". =0,
""/
h,
e!+l' рГ* 'Г- 'l-l *Г- ^/+,> =
= T[f'
+ (aff/+l + (1 - a) gj)
"о/JLj +(r>jv)<" _e(" J/+' ' 1 1
= e!+'-e! +
(r/+I) < ¦ - (r/;;) w;;;
+ Tj3 -?--------------?-------------?-! _ +
hi
J+l
u
/ + 11
/ + 1
Р/
/>+1
hi
/iym1,". rl". г/;;.
T?'~ T' -0,
/+1 ^/+1,
/+" _
С1"Г.гГ) =
h/
1 .. 1 /+1
R--Cr2 + ?Г + Г2)
3 J /
1,2
= */+1 W+,)2^/+V/ + W )'= 0,
Я'ЬГ.,!". T'+x, ui.*]) = [g-y>(p.T)-Sl(p.uJ)]i*' =
= gj+' -irlpi+i.Tj+')-snpi+i. 4>o,
/+1 /+1 ,-/+1 T/+It_
8, / (АГ/ • Pi+l-Р/ ' Ti+i' Ti > -
= [*-/C(p,p(+1), T, Г(+ 1"]/+l =
=*/+l-/f(p/+l, 7~j+1, r/;;)=o,
<VW+'pr^/+,"-[e-3f(p.r)]/+, = e/+I-3f(p/+,.r/ + ,)-0.
^10,'/ <f/+l. p!+1> r/+l)=[?- S(p, Г)]/+' =
= f/+l -?(p/+\ r/ + l) = 0.
136
Применение метода Ньютона к системе нелинейных уравнений (23.4) приводит
к следующей системе линейных разностных уравнений для приращений (23.3)
искомых функций на /r+1-й итерации:
к+l к + l к
5 г,- -0,5x5 Uf = -
к А: + I к к +1
(г,-)2 5 г,- - (г,_, )2 5 г, _|
h,
1
/*Д*
ft +1
5 р,
2,1
ft + i ft (а\ ft + i к ft + i 4тг Gs,- * + 1 k
8 и/ + rg'v 5 /?/ + атЯ/(8 g )y - г -;-------------------------6 г,-
= - f3<l,
2,/
ft + i
5 E, + at
1 1
к /
>/ Р/
/с + 1
/С + 1
5 9j
(<*>
/с + 1
к k /с + 1
5 + 2j3r(г Wb г )_ +
(p,)2
к +1
+ 0r((r)2 5 W )- - /Зтб e,
4, / .
* + 1 /с _ * /с + i /с /с /с /с +1 к * /с + 1 к
5 W, + (г,.)2 П8 ki +2r,.Ar, rv(5 а )у + (г,)2 А-,.(6 Г )y=-7s>/.
/С + 1
1
/С + 1
5 Я, (2г;. + г. )б г{ =
3
/с + 1
5 р, -
к
ъз>
к + I
5 р,
к
ъд>
кьтГ
*+1 5 Т, -
/ дП \
I ЭрГ/
к+ I
5 Р(
/ Ъ?1 \ ft + l к
,г
S , I
/С + 1
5 *,
к
ЪК \ /с + 1 )5 Р/ ~
к
Ъ К
Эр,
/ +1
/с + 1
5 Р/+1
к
э /с эг.
/с + 1
5 Г.
/с
э /?
ЭГ,.
/+1
к + 1
5 7;+1
к
¦ - f
8, /'
к
к +1 / Э dK7 \ /с + 1
5 в,- - I----------------------------------- |5 р, -
/с + 1
5 ?, -
Эр,
к
Э & \ к 5 Р,
к
Э К
эг"
/с + 1 /с
5 г.. = -f
Эр,
+1 / Э & \ * +1
- (id5 г< ¦-
9,1
к
f 10,/ •
>(23.5)
137
Для сокращения записи будем опускать номер итерации и применять
безындексные обозначения для всех сеточных функций. Введем обозначения:
к /. / 1 \ 1/1 1
Кт
47rGs/ (Г*)* г/
к
Ъ&
э77
к
Э ? ЭГ,
1 * /, I 1
г = - (2г,+ г,),
sv
АГ'Г =
к
ЪёР
ЭрГ
к
э /с эг/+
и т.п.
1
А:
Р/
Pi
эп
ЭбУ-
(23.6)
Кроме того, с целью упрощения итерационного процесса пренебрежем в
выражении для приращения коэффициента теплопроводности 5/г приращением
плотности 5р. Основанием этого служит тот физический факт, что
коэффициент лучистой теплопроводности в гораздо большей степени
определяется температурой, чем плотностью.
С учетом сказанного перепишем систему (23.5) в виде
5г - О.БтЬи = - fx,
(,гЧг)_ +
Ьр
= - h.
¦тР&г = -f3.
5 и + тд la)8 R + arR{8g)v
'/ч
5? + ат- 5р - 8р + 20т(г№г)- +
V Р / г Р *
+ 0г(г26ИО_ - /Зт5е = - fn.
&W+r2Tv8k+ 2гк Т*Ьг + ггк(ЬТ)v = - fs,
5 5 Э
5/?
5
¦г5г =
8д-др8р- Sf>T8T-^lll(8u)s = fit
8k = - КтЬТ - К'ТЬ Т(+ 1 ) = -fs,
¦8е~Жр8р -Жт8Т= -f9,
ЪЕ - fLp 5 р - у- 5 7~ - - f ю •
Исключим из системы (23.7) приращения всех функций, кроме скорости и
температуры. В результате получим систему двух линейных уравнений.
Выразим 5г, 5р, 5/?, Ъд через Ъи и 57":
(23.7)
5г = 0,5т5*у - fx,
5р (r) - 0,5тр2 (г25б/)_
где
У' = р2[/Г2
5Я = 0,5т7 5l/ - (?fl +f6),
Ъд = -0,Ътдрр2 (г2Ьи)- + ?1и(Ъи)- + ?РтЪТ-gpY - fn.
(23.8)
(23.9)
(23.10)
(23.11)
(23.12)
138
Подставляя (23.8) - (23.12) в третье уравнение системы (23.7), получим
первое уравнение, связывающее Ъи и ЪТ:
Зц,/Ц'-| " Ci i, +/?, j j Ъи,+ , -
- сi 2 j ЬТг- + bi 29 i ЪТ/ +1 =-Fui, (23.13)
где коэффициенты зх х, сх х, Ьх х, сХ2, Ьх2 и правая часть F х зависят
