Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
модулей можно учесть дополнительные физические факторы, например,
магнитные поля, перенос излучения, химические реакции и т.д.
Блочная структура программы упрощает расчет задач со сложной
пространственной структурой, состоящей из областей с различными
физическими свойствами. Основные расчетные формулы здесь не изменяются.
Нужно лишь при вычислении характеристик газа в данной области обратиться
к соответствующему блоку.
Блочная структура программы существенно облегчает отладку, позволяя
проводить ее по отдельным сравнительно простым блокам.
3. Метод отладки программ. Следующий этап после составления программы
- отладка. Ее цели не ограничиваются выявлением возможных ошибок в
программе. На этапе отладки с помощью специальных тестов иследуется
качество вычислительного алгоритма - точность, сходимость и т.д.
Отладку производят на специально подобранных тестах, в качестве которых
используют точные решения задачи в упрощенной постановке. Близость
численного и точного решений позволяет сделать выводы правильности работы
программы и о точности расчета. Разумеется, система тестов должна быть
подобрана таким образом, чтобы проверить правильность работы всех блоков
программы.
В качестве теста часто выбирают автомодельные решения. Например,
правильность расчета ударных волн можно проверить на задаче о сферическом
поршне и задаче о сильном точечном взрыве в центре звезды
147
(Jl.И. Седов, 1977). Блок расчета "тепловой".группы уравнений при
отключенных динамических процессах (и = 0) можно отлаживать на известных
решениях уравнения теплопроводности. Здесь можно рекомендовать
автомодельные решения типа "бегущей волны" в среде с нелинейной
теплопроводностью (А.А. Самарский, И.М. Соболь, 1963).
В тех случаях, когда получение точного решения затруднительно, прибегают
к так называемому методу пробных функций. Суть этого метода заключается в
следующем. Приравняем рассчитываемые параметры некоторым произвольным
функциям времени и координаты. Затем подставим эти функции в систему
уравнений и получившиеся дисбалансы будем рассматривать как известные
источники в правой части уравнений. Другими словами, изменяем уравнения
таким образом, чтобы выбранные произвольно функции были решением этой
системы. Поскольку дополнительные члены в уравнениях являются функциями
только времени и координаты, то в вычислительном алгоритме нужно будет
внести соответствующие изменения в выражения (23.4). Остальные расчетные
формулы не изменяются.
4. Выбор искусственной вязкости; аппроксима-ционная вязкость. Как уже
отмечалось в § 21, для сквозного расчета ударных волн используют
искусственную вязкость. Наиболее часто рассматривают два Типа вязкости:
линейную (21.2) и квадратичную (21.3).
Строгое исследование влияния искусственной вязкости на структуру фронта
ударной волны (см., например, А.А. Самарский, Ю.П. Попов, 1980)
показывает, что линейная вязкость приводит к гладкому ударному переходу,
который описывается аналитической функцией. Эффективная лиирина фронта
ударной волны при этом равна
где D - скорость перемещения ударной волны по координате s (массовая
скорость), ро - плотность газа перед фронтом ударной волны, Pi -
плотность за фронтом. В случае квадратичной вязкости функция ,
описывающая гладкий профиль фронта ударной волны, имеет разрыв
производных в точках выхода решения на стационарные решения перед и за
фронтом ударной волны. Фронт ударной волны оказывается более крутым, и
его ширина определяется формулой
7 + 1
где 7 - показатель адиабаты.
В расчетах линейная вязкость приводит к монотонному разностному решению;
при этом ширина фронта зависит от интенсивности ударной волны: для слабых
- она велика, для сильных - стремится к нулю. В случае квадратичной
вязкости ширина фронта ударной волны не зависит от ее интенсивности, но
разностное решение оказывается не монотонным - появляются затухающие
осцилляции за фронтом ударной волны. На практике часто используют
линейную комбинацию двух типов искусственной вязкости.
Заметим, что при расчете ударной волны в неоднородной среде более
предпочтительной оказывается квадратичная вязкость, так как скорость
ударной волны может сильно изменяться.
Коэффициент искусственной вязкости подбирают таким образом, чтобы ширина
фронта составила 3+4 шага разностной сетки. В случае квадратич-
А =
(24.4)
(24.5)
148
ной вязкости из условия Д = (3 ч- 4)Л/ получаем
Щ = (1 2)Л/ . (24.6)
В случае неравномерной сеткй коэффициент вязкости зависит от номера узла
разностной сетки.
Как уже отмечалось, разностная схема обладает внутренним диссипативным
механизмом, который возникает вследствие ошибок аппроксимации - так
называемая аппроксимационная вязкость (БЛ. Рождественский, Н.Н. Яненко,
1978). Явный вид аппроксимационной вязкости можно получить с помощью
метода дифференциальных приближений (Ю.И. Шокин, 1979).
Рассмотрим разностное уравнение движения, в котором для простоты
пренебрежем гравитационным членом:
