Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
2 2
не фиктивного разностного интервала, и в этих полуцелых узлах будем
определять функции давления и температуры. По существу, эти величины
совпадают со значениями давления и температуры в граничных узлах / = 1 и
/ - N 1, например, Р (s х , tj ) = P(slt tj ) и P(s i>tj) =P(s^- i, f/ )
•
2 2 Таким образом, система разностных уравнений (22.31) будет справедлива
во всех узлах разностной сетки / = 1, 2, .. ., Л/ - 1.
§ 23. Методы решения разностных уравнений
Разностная схема для уравнений газовой динамики в общем случае
представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений
относительно значений сеточных функций на / + 1-м временном слое. Данную
систему уравнений нужно решать на каждом временном слое. Если принять во
внимание, что размерность системы достаточно велика (~ nN, N ^ " 30 -г
300 - число узлов сетки, п ^ 10 - число переменных), то становится
понятным, что разработка эффективного алгоритма для решения разностных
уравнений представляет самостоятельную проблему.
1. Явная разностная схема. Рассмотрим систему уравнений,
представляющую полностью консервативную схему (22.31). В частном случае а
= /3 = 0 система уравнений разрешается относительно неизвестных сеточных
функций на / + 1-м временном слое по явным формулам через значения
сеточных функций на / -м слое. Расчетные формулы в этом случае легко
выписать. Простота программной реализации является привлекательной чертой
явной схемы.
Однако исследование устойчивости такой разностной схемы показывает, что
условие устойчивости накладывает жесткое ограничение на временной шаг:
ДО
т <------, (23.1)
(До-
12
т <-----, (23.2)
Щ
где Дг,- - г j* + i - Г/, 5/ - локальное значение скорости звука, <7/ = _
KTJ Pi , ,
- .------------ коэффициент температуропроводности, су - удельная
с V, / теплоемкость.
Условие (23.1), так называемое условие Куранта, возникает из-за явной
аппроксимации уравнений движения (а = 0), а (23.2) - из-за явной
аппроксимации уравнения энергии (/3 = 0).
В большинстве задач критерий устойчивости сильно ограничивает величину
шага по времени. Следовательно, для решения задачи требуется большое
число временных шагов, что, в свою очередь, означает большие затраты
133
У
Рис. 47. К объяснению итерационного метода Ньютона.
О
машинного времени. Наиболее жестким является условие (232) , так как в
этом случае максимально допустимое значение т пропорционально квадрату
шага сетки по пространству. Поэтому часто для уравнения энергии выбирают
неявную разностную схему, оставляя явную схему для уравнения движения (а
= 0, 0 = 1). Тогда временной шаг ограничивает только неравенство
(23.1). В такой разностной схеме явным образом разрешаются только первые
три уравнения системы (22.31), а для решения уравнения энергии нужно
использовать итерационные методы.
2. Неявные разностные схемы. Детальное рассмотрение разностных схем
газовой динамики приводит к выводу о целесообразности использования
неявных разностных схем, которые являются абсолютно устойчивыми при а >
0,5 и /3 > 0,5. В основных чертах аргументация сводится к следующему
(Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко, 1978) :
1) Локальные значения скорости звука в разных узлах сетки могут сильно
различаться. (Заметим, что такая ситуация характерна для большинства
астрофизических задач). В этом случае критерий устойчивости явных схем
(23.1) может привести к неоправданно малому шагу по времени,что ведет к
уменьшению точности расчета и сглаживанию профилей решения.
2) Для точного счета ударных волн желательно, чтобы фронт волны
перемещался за один временной шаг на один шаг пространственной сетки.
Явная схема в силу критерия (23.1) не может быть использована для такого
расчета.
3) Величина временного шага схемы определяется двумя требованиями:
точности и устойчивости. Точность определяется, в основном, величиной
градиентов решения: чем больше градиенты, тем быстрее протекает
газодинамический процесс, тем меньше допустимый шаг, и наоборот.
Устойчивость явной схемы определяется условием (23.1), которое с
градиентами никак не связано. Поэтому при расчете газодинамических
процессов с малыми градиентами временной шаг, допустимый по точности,
намного превышает шаг, допустимый по устойчивости. Ясно, что в этом
случае необходима неявная схема.
Рассмотрим подробнее реализацию неявной разностной схемы.
3. Метод Ньютона. Для численного решения системы нелинейных
алгебраических уравнений, представляющих разностную схему, наиболее часто
используется итерационный метод Ньютона (И.С. Березин,
Н.П. Жидков, 1962).
Поясним его на примере функции одной переменной. Пусть требуется найти
решение х = х0 уравнения f {х) - 0. Представим значение функции f (х) в
точке х0 с помощью разложения в ряд Тейлора с сохранением линейных
членов:
Выразим отсюда х0: х0 ^ х --------- . На основе этого соотношения
строят
f (х)
134
* + I к f(x)
итерационный процесс для нахождения x0 : х =х--------, где к
= 0, 1, ...
