Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
и f --------------------------- = , (22.18)
2т \ 2 ,,
47rGs 47tGs , ,
/< ' >--------------------- f и(а>} + (а, -0,Ъ)ти,} =
Ri R7
4 тг Gs 4я Gs
rt +
5б j = - 47rGs
я Gs ( 4 я Gs \
(а, - 0,5)т?уг = - I - 56,, (22.19)
/?2 \ Г 1 t
[*+ (т)"
*2 где
4тг Gs
(а! -0,5)тит. (22.20)
Таким образом, имеем
- _ \ =_"lU(O.S)^a3)+5e (22 21)
2 Г ) si
4ttGs
Введем обозначение: U = - ------ - потенциальная энергия элемента
газа
г
единичной массы на расстоянии г от центра звезды. Перепишем (22.20):
у + l/j = -fl,?/(0's)giCTl) + 6е,. (22.22)
Далее определим значение кинетической и потенциальной энергии в полу-1
целом узле / с помощью линейной интерполяции соответствующих
2
1
величин в целых узлах / и / - 1. Тогда в узле / имеем
2
и2 + о(-1)2 U + U(-1) \ 1 ,, ,
4 2 1,2
1 /л с \ (п \ + 6б j (- 1 )
/?, (- 1)г/(- i)<o s> [??(- 1)3 > + --------------- .
2 4 2
(22.23)
Складывая (22.23) и (22.10), с учетом (22.17), получим
= -0(<,,)(/??/(ст>))_ -
и2+и(- 1)2 U + (7(- 1) Е--------------+ ---------
t
130
-y{ff1t/<0 S>flrt°*) + Л?! (- 1)4/(- 1)<0 5>l^(- 1)]i0j)} +
5e, + 5ei (- 1)
+ -------------- . (22.24)
2
Слагаемые в правой части преобразуем следующим образом:
ff(Oj)(/?u(0,,))j. =
= + (о3 ~а2)тд,\ [ff(w(0,s) + (a, -0,5)т*/,)] _ =
= g(o')(Ru*'0'S))- -Se2, (22.25)
где
5e2 =-т[(а, -0,5 )g<a>>(ffut)r + (а3 - a2)ff,("u(0-s))_ ]; (22.26)
j {ff,u(0-s)4a2> + Я, (-l)u(- 1>(0'5)Ы- =
= - \Ru(0's)glaz) +ff(-1)</{-1)(0*s,[^(-1)]te,)}-8e3. (22.27)
2 I ^ 5 J
где
5e3 ^{(Я-Я.^Ц
+ [Я(- 1) - Я, (_ 1)]u(- 1)<° 5)[р(- 1)) ta2)J . (22.28)
Подставляя (22.25) и (22.27) в (22.24), получим
Т и2 + u(-1)2 U+U{-1) 1
? +------------------------------ +---------------------------- = - д
(Ru 1 )- -
I 4 2 J ,
_ 11 Ru(0.s}g(o2) + R{_ 1)u(_ Я(о.5)[5(_ я) (-,)j +
+ (г2т~°г ) + e(g- > + -е--е* (~ 1>- + 6е2 + 5е3.
i 2
Первые два слагаемых сворачиваются по формуле разностного
дифференцирования (22.16). Окончательно, имеем:
Г и2 + и (- 1)2 U + ?У(- 1) 1
1г-;-----------------J,-
= - (ffo(0-s)ff,(°:))_ + (г2И')10д) +e("J> +5е, (22.29)
5е, + 5е, (- 1)
/где ое ------------- + 5б2 + ое\.
2
Полученное соотношение представляет собой разностный аналог дивергентного
уравнения энергии (21.12). Его можно рассматривать как закон
131
сохранения энергии для одного массового интервала (s/_i,S/) на промежутке
времени (tj ,tj + j). Суммирование уравнений (2229) по всем узлам
разностной сетки дает разностный аналог интегрального закона сохранения
полной энергии.
Мы видим, что в исходной разностной схеме (22.1) - (22.6) закон
сохранения энергии нарушен за счет появления фиктивных источников энергии
6е чисто разностного происхождения. Дисбаланс энергии накапливается со
временем. На гладких решениях мощность фиктивных источников порядка О (г)
(при правильном выборе Rx и R2) и практически не зависит от шага
пространственной сетки.
Выберем теперь параметры схемы таким образом, чтобы дисбаланс энергии
тождественно равнялся нулю: 5ej = бе2 = 5е3 = 0. Из выражений для
дисбаланса (22.20), (22.26) и (22.28) получаем
т).
= ГГ,
Rx - R
+ гг + гг
(22.30)
Л| = 0,5; а3 = а2.
Таким образом, при выполнении условий (22.30) разностная схема становится
полностью консервативной, т.е. в этом случае в схеме выполнены как закон
сохранений полной энергии (22.29) , так и балансы по отдельным видам
энергии: внутренней (22.10) и сумме кинетической и потенциальной (22.22).
Условие полной консервативности позволило конкретизировать разностную
аппроксимацию величин Rx и R2 и значения весов ох и а3. Два весовых
множителя о2 и а4 (обозначим их соответственно а и 0) остались свободными
параметрами.
Выпишем двухпараметрическое семейство полностью консервативных разностных
схем:
rt=u
(0,5)
И).
-, ut = - Rg
(a)
4nGs
rr
,<<*>
a-
(Ю
{r W)- + €
W = - kr2 7V
F = &(p.
Л2
/? =
T), P=?fJ(p, T), е = Ж(р,Т),
г +ГГ + Г2
g = P + <л, со = SI (p, и, и (- 1)),
(22.31)
к = K(p,p(+ 1), Г, Г(+ 1)).
Звездочку при обозначении сеточной функции к в целом узле будем опускать.
Распоряжаясь весовыми множителями а и (3, получаем различные разностные
схемы; от явной а =0, (3 = 0 до полностью неявной а = 1, (3 = 1. При а =
/3 = 0,5 получаем единственную полностью консервативную разностную схему
со вторым порядком аппроксимации на равномерной сетке 0(т2, hr). В
остальных случаях разностные уравнения имеют порядок аппроксимации О
(т,/?2).
3. Аппроксимация в граничных у з л а х. Сделаем несколько замечаний по
поводу разностной аппроксимации уравнений в граничных
132
узлах сетки. Для того чтобы избежать изменений в записи разностных
уравнений в граничных узлах сетки, воспользуемся следующим приемом,
формально расширим разностную сетку, добавив к ней фиктивные разностные
узлы: слева - s0 и справа - s^. Величины соответствующих шагов сетки
положим равными нулю: Л j =s j -s0 = 0,/?д =s/v - Syv_ 1= О.Такжефор-
1 1
мально введем полуцелые узлы / = - и / = Л/ - - , отнесенные к середи-
