Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
?*(г)-±[(і-^)(м* + ф*/г*)]%;
решения с положительным и отрицательным корнями связаны простым соотношением E+ = —E-. В керровском случае ограничимся экваториальной плоскостью 0 = я/2, тогда решения с положительным и отрицательным корнями получаются из уравнения
?2 [г3 + а2 (г + 2М)] - 4MEaplf + (2M - г) (р2 + ц2г2) - a2\i2r = 0.
Для любого фиксированного значения углового момента Ф имеем Zj+(Ф) = = —?-(—Ф). Решения с положительным корнем являются релятивистским обобщением классических ньютоновских состояний. Круговые орбиты существуют для максимумов и минимумов потенциалов. Точки на графиках представляют устойчивые круговые орбиты (см. также рис. 4). Запрещенные состояния не имеют физического смысла, поскольку они должны соответствовать частицам с мнимыми импульсами. Решения с отрицательным корнем не имеют классического смысла и соответствуют частицам с отрицательной массой. Они интерпретируются в рамках релятивистской квантовой теории поля (см. разд. 9). Важно отметить, что в случае геометрии Керра для подходящих значений постоянных движения решения с положительным корнем могут иметь отрицательную полную энергию. Это непосредственно связано с возможностью существования процессов извлечения энергии из черных дыр на классическом (разд. 6) и квантовом уровне (разд. 9). Детали см. в [93, 94]
(см. также рис. 16).
416
Р. Руффини
и заряда черной дыры. Эффективный радиальный потенциал дается выражением
Е(г) = [-В±(В2-4АС)'кУ2А, (27)
где
Л = (г - + а2)2 — а2А, (28.1)
В = 2аФД-(г2 + а2)(Фа + е<2г), (28.2)
С = (Фа + eQr)2 — А (г2 + S + Ф2). (28.3)
Существует много качественных и количественных различий между орбитами частиц, описываемыми согласно ньютоновской
Керровские минимумы
Последняя круговая орбита (Керр,
Керровские максимумы
-Z -J 0 /'2 3 U
ру/jlim т Zjf3
Рис. 4. Здесь сравниваются и противопоставляются ньютоновским результатам минимумы (устойчивые круговые орбиты) и максимумы (неустойчивые круговые орбиты) эффективного радиального потенциала для пробной частицы в поле шварцшильдовой (a = Q = 0) и экстремальной керровской (а = М, Q = O) черных дыр. Расстояние г дано в единицах массы черной дыры, а угловой момент частицы — в единицах произведения ее массы и массы черной дыры. Численные значения эффективного потенциала в единицах массы дробной частицы отложены на соответствующих кривых максимумов и минимумов для некоторых значений радиуса и углового момента. Детали см. в [93, 94].
нерелятивистской теории, и орбитами, полученными из релятивистских уравнений (23) — (27). Одно из главных различий состоит в том, что для любого набора постоянных движения в релятивистском случае существуют два независимых энергетических состояния. Эти два энергетических состояния соответствуют положительному и отрицательному знакам в уравнении (27) и были названы Кристодулу и Руффини [91] решениями с положительным и отрицательным корнями. Только решения с поло-
8 О гравитационно сколлапсировавших объектах
417
жительным корнем имеют классический нерелятивистский предел; решения с отрицательным корнем приобретают смысл в рамках релятивистских квантовых теорий поля (разд. 9). На рис. 3 вместе с указанием решений с положительным и отрицательным корнями показаны некоторые качественные особен-
Рис. 5. Движение пяти нейтральных пробных частиц с нулевым угловым моментом вблизи экстремальной керровской черной дыры с а = AL Постоя-нные движения для частицы равны E/\i = 1, Ф/цМ = 0 и 5 = 1,0. На вертикальных линиях отложены изохронные точки (если смотреть из бесконечности). На левой стороне рисунка предполагается, что частицы обладают 0<О, на правой 0 > 0. При приближении частиц к горизонту г->г+=з = M + [M2 — (a2 + Q2)]1/2 все они приобретают одинаковую угловую ско-рость в направлении ср. Из уравнения (23г) следует, что независимо от значений постоянных движения любая частица, падающая на керр-ньюменовскую черную дыру, с точки зрения наблюдателя на бесконечности асимптотически во времени приближается к состоянию равномерного кругового движения на горизонте с постоянной широтой. Действительно, мы имеем
Iim ¦—-* = 0, Iim = 0, Iim ==Q. г-»г+ “ф г-»г+ «Ф г-»г+
Этот факт был впервые отмечен Кристодулу и Руффини, a Q = а/(г+ + а2) была названа угловой скоростью черной дыры (см., например, [38]). По поводу альтернативного введения угловой скорости Q см. разд. 6. Детали
см. в [95].
ности радиального эффективного потенциала. На рис. 4 в сравнении и противопоставлении с ньютоновскими результатами представлены значения энергий связи и радиусов устойчивых круговых орбит вблизи шварцшильдовской и керровской черных дыр. Как для райсснер-нордстремовской, так и для керр-ньюменов-ской черных дыр могут существовать устойчивые круговые орбиты, которые для определенных значений постоянных движения приближаются к орбитам с энергией связи 100% [91]. Круговые орбиты представляют известный интерес, поскольку
14 Зак. 203
418
Р. Руффини
аккрецирующее вещество, как полагают, обладает большим угловым моментом и при соответствующей величине диссипативных процессов приближается к горизонту через последовательность почти круговых орбит [96]. При этом энергия связи последней устойчивой круговой орбиты представляет собой величину энергии, которая может быть излучена в процессе аккреции. В свою очередь тот факт, что энергия связи имеет величину порядка
