Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
( Л YД д , a(2Mr-Qt) д 1С 1Ч
AsaJ at ^ (ідл)* вФ'
<6-2>
Н У'TT- ,6‘3>
*«-(т)*-лЬг?- (6.4)
Теперь электрическое поле получается как физические компоненты формы F относительно тетрады (5), которые равны
Ef = Ffi = Q (г2 - а2 cos2 в) (г2 + a2)/S2AVs, (7.1)
E% = F^i = - 2a2QrAv> cos 0 sin Є/ЛУі22, (7.2)
?Ф = ^Ф, = 0. (7.3)
Компоненты магнитного поля даются выражениями
Bf = F^ = 2Qar cos 0 (г2 + a2)/AvsS2, (8.1)
B-g = F" = QaA4i (г2 - a2 cos2 0) sin Q/AH2, (8.2)
ВФ = ^е = °- (8.3)
Ясно, что компоненты электромагнитного поля для геометрии Райсснера — Нордстрема получаются отсюда, если поло-
1J Напомним, что в данном случае термины «ковариантный» и «контра-вариантный» относятся к индексам Ji и v компонент тетрады и е(^, а не
к индексам (X) у базисных 1-форм со¦= е{^ dx^ и = которые
указывают номер 1-формы (см., например, [194]). Осуществляемое метри-
кой (2) поднятие индексов также относится к компонентам тетрады.— Прим. перев.
8. О гравитационно сколлапсировавиїих объектах
405
жить а = 0. Из уравнений (7) и (8) следует асимптотическая форма поля на больших расстояниях (г г+). Сохраняя члены до квадрупольного включительно, получаем
Et — Q/f2 + О (1/г4),
E9 = OWr*),
Еф = 0,
Bf = 2Qa cos 0/г3 + 0(1 /г5),
B-S = Qa sin 0/г3 + О (1/г5),
ВФ = 0,
что соответствует объекту с полным зарядом Q, магнитным моментом H = Qa и гиромагнитным отношением Q/M [40]. Te-
Электрические
Рис. 1. Магнитные и электрические силовые линии магнитной черной дыры.
перь можно определить электрические и магнитные силовые линии, вводя в каждой точке касательную к направлению электрического и магнитного полей.
Можно показать, что эти линии совпадают с линиями постоянного потока (см., например, [41, 42]), которые определяются уравнениями
^ Fllv dx* Д dxv = 4nQ, s
s
Fixv dx» Д dxv = 4яP.
406
Р. Руффини
Здесь Q и P — электрический и магнитный заряды, a *F — форма, дуальная к форме (3).
Окончательно получаем уравнения [38]
(г2 — а2 cos2 0) (г2 + a2) dQ + 2a2r cos 0 sin 0 dr = О (для электрических силовых линий) и
2г cos 0 (г2 + a2) dQ — (г2 — а2 cos2 0) sin Qdr = О
(для магнитных силовых линий).
Схематическое представление этих линий дано на рис. 1.
3. Устойчивость черных дыр относительно малых возмущений
Одним из наиболее важных достижений в развитии физики черных дыр было введение полного набора собственных функций для описания малых возмущений заданной фоновой метрики. Пионерской работой по анализу малых возмущений в общей теории относительности является классическая работа Лифшица 1946 г. [43]. В ней Лифшиц проанализировал следующие типы возмущений однородной и изотропной расширяющейся Вселенной (модели Фридмана): скалярные возмущения плотности (образование галактик), векторные вращательные возмущения (вихри), тензорные возмущения (гравитационные волны). Расчетный метод этой работы был позднее применен к физике черных дыр; его можно кратко изложить следующим образом.
Пусть решение уравнений Эйнштейна с тензором
энергии-импульса 7^. Тогда можно определить новую метрику ?|iv = ?[iv + hMV' где удовлетворяет уравнению
(«8- *„) - (ад - си< (*Э)=8я (?„„ - Г™), (9)
в котором Tцу — тензор энергии-импульса возмущенной метрики Ifliv. Уравнение (9) можно преобразовать к следующему виду:
«и*® ft»)+0(?.)=te4V <|0>
где SGfiv — линейный оператор, действующий на hp0 [44]. Если предположить, что ATtiv мало, то можно пренебречь нелинейными членами, и уравнение (10) принимает вид
- [V* » ‘ - A. ^ + К:») + 2*7Л.+Л\: * V- *¦>,,,-*> J -
- г,,(Zxil-AV1)-M+«»vM“,= <П)
8. О гравитационно сколлапсировавших объектах
407
где /ц = Л“ а, a Rafiyв. RtlV и R, как обычно, означают тензор Римана, тензор Риччи и скаляр кривизны.
Лифшиц показал, как разложить наиболее общее возмущение метрики фридмановской вселенной на скалярную, векторную и тензорную гармоники на 3-сфере1). Полный анализ возмущений в уравнении (11) сводится к интегрированию дифференциального уравнения, содержащего лишь производные по времени.
Данный метод возмущений был применен к физике черных дыр Редже и Уилером [45] в 1957 г. (см. также [46]). Используя в качестве фона метрику Шварцшильда и ее свойства симметрии, они разложили угловую часть общего возмущения по скалярной, векторной и тензорной сферическим гармоникам на 2-сфере. Затем Редже и Уилер [45] и Дзерилли [47] свели определение наиболее общего возмущения шварцшильдова фона к интегрированию двух уравнений типа шредингеровских, каждое для сферических гармоник определенной четности. Эти два уравнения дают временную и радиальную зависимость возмущений.
Фурье-образы радиальной и временной частей возмущения удовлетворяют для каждой из двух четностей уравнению вида
-?- blm (а; г) + [ю2 — V1 (г)] blm (со, г) = Slm (со, г),
dr
где ik=grr- (12)
Здесь I и m — индексы рассматриваемых сферических гармоник, V1 и Stm — эффективный потенциал и источник, вызывающий возмущения. Решение этих уравнений получается с помощью функций Грина для однородных уравнений с использованием двух семейств независимых решений: сходящегося к горизонту черной дыры и уходящего на бесконечность ([30], с. 453).
