Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
1,0 ZfO 3,0
w в единицах JS/Ь
4,0
Рис. 12. Сравнение всплесков электромагнитного и гравитационного излучения. Частица массы т и заряда е, летящая с нерелятивистской скоростью V = Рс, пролетает мимо значительно большей массы M с зарядом Q, первоначально покоившейся, с таким большим прицельным параметром 6, что движение является почти прямолинейным. Распределение частот излучаемой электромагнитной энергии дается формулой
+ оо |2'
d AE 4е2 J I f .., г. л .
*: (t) exp [ico/] dt
dv
3 с3
( I +°°
¦ S'1
' —OO
+
+°о 12 4
^ у (/), ехр [»ю<] dt >
-OO '
ИЛИ
С (*, У) = (eQ/m) (vt, b)![(Vty-^rbiYh,
- d ЬЕ/dv =°(16С?е4/Зт2с5$,2) [u2/Co (и) + U2K21 («)]
с и = соb/v (в обычных единицах) или и = со6/(3 (в геометрических единицах) (формула дана Бором [HO]). Функция от и в квадратных скобках превращается в 1 при низких частотах и в пи ехр (—2и) при высоких частотах и после интегрирования по и дает я2/8 = 1,234 («точка обрезания эквивалентного плоского спектра», как показано на верхнем графике). Аналогично распределение частот всплеска гравитационного излучения дается формулой
+ CO
— d AE/dv = ^ Qpq (0 ехр [Ш\ dt
р, Q -оо
где в правую часть
QPQ = (тМ/г3) (26Mr/r + 18 (г/г) гМ - 12гМ ¦
12 грҐ)
мы подставили выражения для невозмущенного прямолинейного движения массы т (теперь нейтральной!) относительно массы M (также незаряженной)*
8. О гравитационно сколлапсировавиїих объектах
427
Первый множитель в Qpq равен тМ (b2 + р2/2) 8/\ а второй равен выражениям
хх: — 4Р2/ - 18b2P2t/(b2 + P2/2), ху: 6&Р - 18Ь2$/(Ь2 + P2/2), у у: 2Р Ч + 1862Р2//(62 + P2/2), zz: 2р2/,
+ OO
умноженным на P2/. Интегралы Фурье J Qpq (t) ехр (Ш) dt, входящие в вы-
-OO
ражения для углового и частотного распределений, даются выражениями
XXi — і (2иКо “Ь Зм2/Сі), ху: —ЗиКі Su2Ko*
УУ' іиКо,
zz: і (иКо +Sti2Kx).
умноженными на 4тМ/b (без ограничения на величину отношения т к М). Таким образом,
- d AE/dv = (64ш2М2/562) [(и2/3 + и4) /C^ + SuzK0Ki + (и2 + и4) K21]
[в гравитационных единицах; для перехода к обычным нужно умножить на G*l& = 1,23-10-*74 (эрг/Гц) (см2/г4)]. Множитель в квадратных скобках сводится к единице для малых и = соб/р и стремится к пиг ехр (—2и) для высоких частот, а проинтегрированный по и дает 37я2/96 (точка обрезания для <дЬ/р эквивалентного плоского спектра, как показано на нижнем графике). Рисунок и подпись к нему взяты из [111].
Рис. 13. Результаты анализа излучения, испущенного пробной частицей на ультрарелятивистской неустойчивой круговой орбите в поле шварцшильдовой черной дыры массы M резюмируются в данном разделе (детали см. в [106, 114, 116]). Вычисления были проведены в рамках формализма Редже — Уилера — Дзерилли [47]. На рисунке сравниваются и противопоставляются спектральные распределения для скалярного, векторного и тензорного излучения, испускаемого пробной частицей на ультрарелятивистской круговой орбите с г0 = 3,05 Mt в функции мультипольной моды L Вклад высших мультиполей, слабый уже в случае векторного излучения, еще более уменьшается для тензорного излучения. Здесь у2 = (1—ЗМ/го)"1 = 61, т — масса, q— электрический заряд, s — скалярный заряд частицы.
428
Р. Руффини
wM
cuM
Рис. 14. Ниже излагаются результаты рассмотрения гравитационно индуцированного электромагнитного излучения, испускаемого незаряженной пробной частицей массы т, первоначально покоившейся на бесконечности и падающей-радиально на райсснер-нордстремовскую черную дыру (Q = 0,08 Af). Для-этой проблемы формализм возмущений Дзерилли приводит к следующей системе связанных дифференциальных уравнений (в безразмерной форме, г № Q измеряются в единицах Af):
^+(»2-v?K
MO-ехр (2у)
________P (2v) (_____^
Яг2 + Зг - 2Q2 Kr2 —
Яг + 1
2Яг + 3 Ч 8Q2 . ,
Яг2 + Sr - 2 Q2 ) <<о Гі° + і0>-
8 Qi
2г+ Q2 ^ Яг2 + 4 exp (v) Q2
КО ЄХР (V)
К
г2 ^ г2 (Я г2 + 3 г- 2 Q2) 1(1+ I) exp (V) (3г - 4Q2)
]}
ZO
2 г
г (Xr2 +
Зг-^ІХ 3r-2Q2) )*10
dR
dr'
/°1 і о2
~ J т ^
/о»
Здесь /?,<> описывает гравитационное возмущение для заданного мультиполя’’
Ii a fio — соответствующее электромагнитное возмущение. Источник для уравнения гравитационного возмущения имеет вид
>/о!
8y° (/ + у) 1г г exp (v) ехр (/со7")
Яг2 + Зг - 2 Q2
IM1
11(0 Kr
2Хг + 3 \
” Xr2 + 3г - 2Q2 J
1 / ехр (— 2v) . dT \1
2 V dT/dr dr Л*
а его эффективный потенциал равен
8. О гравитационно сколлапсировавиїих объектах
429
Аналогично для источника электромагнитных возмущений имеем
S210 = 4 ехр (V) Y0 (* + j)7’ ехр [шТ (r)]/r (Xr2 + 3г - 2Q2).
Как обычно, полагаем
ехр (V) - 1 - у + , dr/dr* = ехр (V), X = (I-I) (I + 2)12,
T (г) означает временную координату траектории пробной частицы. Граничные условия, налагаемые на решения уравнений, на поверхности черной дыры соответствуют приходящим волнам, а на бесконечности — уходящим волнам [106]. Выражение для излучаемой гравитационной энергии, усредненной по всем углам, дается тогда для каждого мультиполя I выражением
