Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Совместно они полностью определяют марковский процесс.
Примечание. Из формулы (4.6.4) видно, что в пределе Z1 —ос
Р, (я, °с) = б„,„. (4.6.6)
Тогда вся вероятность сосредоточивается в состоянии N = O, которое поэтому называют абсорбирующим или поглощающим. Все другие состояния (N ^? 1) исчерпываются с течением времени; их называют переходными. Они могут встречаться только тогда, когда продукты распада исчезают в бесконечно большой области. Для конечных физических систем переходные состояния исключены (см. § 5.5). Если наш радиоактивный образец поместить в непроницаемый контейнер, то вероятность повторного поглощения испущенных частиц будет отлична от нуля. Такая ситуация встречается при испускании и поглощении фотонов атомами в лазерах. Применим этот пример для иллюстрации одного важного места, которое нам понадобится в следующей главе. Вероятность перехода (4.6.5) при Z2-Z1 = O сводится к
PlilOi2, Z1In1, *І)=-АііВі, (4.6.7)
как это и должно быть.
Теперь возьмем Z2 — Z1 = T и, опустив члены второго и более высокого порядка по т, получим
Pli г{пі, *1 + т|ль *i)-6n„ „,(l-vniT)-f ^ялт + О^»). (4.6.8)
99 Легко заметить, что последний член представляет собой вероятность того, что одно нз Пх активных ядер распадается в течение времени т; вероятность большего числа распадов является величиной более высокого порядка по т. Первый член представляет собой вероятность отсутствия переходов. Амплитуда начального символа Кронекера выбирается в соответствии с условием нормировки условной вероятности (1.3.4).
Упражнение. Проверьте с помощью непосредственного вычисления, что (4.6.5)
удовлетворяет уравнению Чепмена — Колмогорова. Упражнение. Получите для производящей функции вероятности процесса N (Z1) выражение
F (Z) =. <zN (<l)> = { 1 +w(z- 1)}"» (4.6.9)
и выведите из него формулу (4.6.2), а также найдите дисперсию процесса NV,).
Упражнение. Найдите факториальные кумулянты (1.2.17) для процесса распада. Упражнение. Представьте процесс распада как ветвящийся процесс и используйте (3.6.7) для получения таким способом формулы (4.6.9). Упражнение. Некая марковская цепь для двух состояний имеет одно поглощающее и одно переходное состояния. Какой вид имеет матрица перехода 7?
ГЛАВА 5
ОСНОВНОЕ КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
Основное кинетическое уравнение представляет собой разновидность уравнения Чепмена — Колмогорова для марковских процессов, но оно проще в обращении и более тесно связано с физикой. Оно станет основным стержнем большей части книги.
5.1. ВЫВОД ОСНОВНОГО КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим марковский процесс, который для удобства выберем однородным, так что матрицу перехода можно написать в виде Tt. Уравнение Чепмена—Колмогорова (4.3.2) представляет собой функциональное соотношение для Tx, с которым довольно трудно работать в реальных приложениях. Основное кинетическое уравнение оказывается более удобным видом того же самого уравнения. Оно является дифференциальным уравнением, полученным в результате предельного перехода, когда разность времен т' стремится к нулю. Чтобы выполнить предельный переход, необходимо сначала выяснить, как ведет себя Tx- при стремлении т' к нулю. В предыдущем разделе мы показали, что Tx' (у21 ух) при малых т' имеет вид *
Tr Oa I Ух) = (1 - О.Т') б (IJ2-IJx) + X'^ (у2 Iy1) +О (+), (5.1.1)
где ^ (у 2\ у х^—вероятность перехода за единичное время из состояния Ij1 и у2; следовательно,
__W(y2\yx)>0. (5.1.2)
* Символ О (т') использован для обозначения некоторого члена, о котором известно только, что О (т')/т' стремится к нулю, при т'—>-0.
100 Коэффициент 1—а0т' перед б-функцией представляет собой вероятность того, что в течение времени т' перехода не происходит; отсюда следует *
ЯоЫ= S (5.1.3)
Это следует и из (4.3.8). Пока соотношение (5.1.1) мы примем на веру, но обещаем читателю продолжить обсуждение этого важного места в § 10.1. Теперь подставим это выражение для Tx- в уравнение Чепмена — Колмогорова (4.3.2):
Тт+f (Уз І Уі) = [1 — «о (Уз) *'] Tx (у31 Ij1) + т' 5 W (у31 у2) Tx(у21 (Z1) dу2.
Разделим на т', перейдя к пределу т' —> 0 и использовав (5.1.3). Получим
& Tx (Уз I Уг) = J {W (у31 у2) Tx (у21 Уі)- (у21 у3) Tx (уз IУ1)} Ayt. (5.1.4)
Это дифференциальная запись уравнения Чепмена — Колмогорова, справедливая для вероятности перехода любого стационарного марковского процесса, удовлетворяющего соотношению (5.1.1); ее называют основным кинетическим уравнением.
Будет полезным понять это уравнение на более качественном уровне. Сначала отметим, что Tx(Ij2Iy1) совпадает с функцией распределения PKy2) подансамбля, определенного начальным значением у±. Тогда, опуская ненужные индексы, запишем
^-U = ^{W(y\y')P(y', t) — W (y' I у) P (у, i)}dy'. (5.1.5)
Это обычный вид основного кинетического уравнения. Функция P (у, t) не обязательно относится к подансамблю, определенному начальным значением, а может быть определена некоторым начальным распределением P (у, 0) (ср. с § 4.4).
Если множество возможных значений Y является дискретным множеством состояний, пронумерованных числами п, то это уравнение сводится к
