Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Sp [б (і,-у)е-<"-ау>-"*г>] Sp е"
P UA fP. L01» rIe _(4 4 4,
гі\У) C^-(H-BY)HkT) ¦ Vi.-t.tJ
Здесь H — оператор Гамильтона системы в отсутствие внешнего поля, Y—оператор, соответствующий намагниченности, a Sp является квантово-механическим эквивалентом классического интеграла по фазовому пространству.
Теперь предположим, что для — оо < Z < Z0 индукция магнитного поля есть В + AB и в момент времени Z0 это значение скачком изменяется и становится равным В. Тогда распределение в момент Z0 имеет вид
Sp е"
При Z > Z0 намагниченность Y будет однородным процессом с начальным распределением р, заданным (4.4.5) и той же самой вероятностью перехода, что и в равновесном случае с внешним полем В. Следовательно,
<У (Z)>* = J J yTt-t0 (У I Уо)р(Уо) Ay0 dу. (4.4.6)
* R. Kubo and К. Tomita. J. Phys. Soc. Japan 9. 888 (1954); С. P. Slichter, Principles of Magnetic Resonance (Harper and Row, New York, 1963) R. Lenk. Brownian Motion and Spin Relaxation (Elsevier. Amsterdam, 1977).
93 Таким образом, путь, по которому макроскопическое среднее приспосабливается к новому полю В, определяется вероятностью перехода равновесных флуктуации в этом поле.
Если интересоваться только линейным откликом, то можно получить более изящный результат. Разложение (4.4.5) в первом порядке по Л5 имеет вид
Л R
P (У) = P1 (У) + ^r {y~<Y>„\ P1 (у) + О (ЛВ2),
где Pi(y) — распределение (4.4.4); <YyB— соответствующее среднее. Подстановка этого выражения в (4.4.6) после небольших алгебраических вычислений дает
<У (/)>* = / Y>?^--~x (t — t0).
Таким образом, необратимая релаксация средней намагниченности (в линейном приближении) определяется автокорреляционной функцией равновесных флуктуаций. Это является примером знаменитой флуктуационно-диссипативной теоремы, хотя обычно эта теорема формулируется в терминах частот *.
Примечание. Мы предположили, что Y (/) — марковский процесс. Однако обычно наибольший интерес представляют материалы, в которых наблюдаются эффекты памяти, поскольку они дают больше информации о микроскопических магнитных моментах и их взаимодействии. В этом случае полученные выше результаты остаются формально правильными, однако надо иметь в виду следующую особенность. По-прежнему остается верным то, ЧТО P (i/o)—ЭТО функция распределения величины Y в момент времени .'„. в который выключается малое поле В. Однако уже несправедливо, что это распределение р (уи) однозначно определяет подансамбль и тем самым будущее Y (t). Теперь уже важно знать, что система «стареет» в присутствии поля В 4-A?, так что ее плотность в фазовом пространстве является канонической не только по переменной Y, но и по всем другим переменным, которые определяют ее будущ'ее. Следовательно, полученные формулы неприменимы к зависящим от времени полям B(t), если только изменения не настолько медленны, что система способна все время поддерживать равновесное распределение, соответствующее мгновенному значению В (t).
Упражнение. Из винеровского процесса выделите подансамбль, соответствующий Y(t0)---yr,. Найдите эволюцию среднего <Y (t)y при t > Z0. Найдите также дисперсию <<K(Z2)>> в этом ансамбле. Упражнение. Тот же вопрос для процесса Орнштейна — Уленбека. Упражнение. Процесс с независимыми приращениями — это однородный Марков ский процесс с вероятностью перехода
Тх(Уі\Уі)^Тт(у2-уі). (4.4.7)
Он не является подансамблем стационарного процесса. Для таких процессов тождество (4.2.2) можно разрешить с помощью преобразования Фурье. Покажите, что получающаяся в результате функция Pi (у, Z) стремится к гауссову виду. Примерами служат винеровский процесс и случайные блуждания.
* Н. В. Callen and R. F. Greene, Phys. Rev. 86, 702 (1952); R. F Greene and H. B. Gallen, Phys. Rev. 88, 1387 (1952); De Groot and Mazur.
94 4.5. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
Особенно простым классом марковских процессов являются марковские цепи, которые мы определим с помощью следующих свойств * .
1. Множество возможных значений Y представляет собой дискретное множество состояний.
2. Переменная времени дискретна и принимает только целые значения /=..., —2, —1,0,2, ....
3. Процесс является стационарным или по крайней мере однородным, так что вероятность перехода зависит только от разности времен.
Конечными марковскими цепями называют такие цепи, у которых множество возможных значений представляет собой конечное число N состояний. Они широко изучены, так как хотя и являются простейшими марковскими процессами, но обладают большинством характерных для них черт**. Первая функция распределения вероятности P1 (у, t) является Л^-компонентным вектором Pn\t) (/1=1, 2, ..., N). Вероятность перехода Тт(У.г\Уі) представляет собой Л'X jV-матрицу. Марковское свойство (4.3.3) приводит к матричному уравнению
t^itly (t = О, 1, 2, ...). (4.5.1)
Распределение вероятности p{t), возникающее из начального распределения р (0), в матричных обозначениях (индексы не выписываем) имеет вид
p(t) = T'p{0). (4.5.2)
Следовательно, изучение конечных марковских цепей равносильно изучению степеней Л^хЛ'-матриц Т, о которых известно только, что:
