Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
шаги совершаются. Эти моменты времени образуют случайное мно-
t жество точек на оси времени. Их Рис. 5. Выборочная функция про- количество между любыми двумя цесса Пуассона моментами времени распределено
по закону Пуассона (4.2.6). Поэтому F(Z) называют пуассоновским процессом, он описывает ту же ситуацию, что рассмотрена в § 2.2.
Упражнение. Запишите иерархию функций Pn для винеровского процесса. Упражнение. Докажите следующие соотношения для винеровского процесса:
Or(Z1)K(Z2)) = Min (Zb Z2); (4.2.7а)
C(Kfz1)-K(Z2)JfK (Z3)-K(Z4)}> = (Zb Z2) П (t3, U). (4.2.76)
Правая часть (4.2.76) означает длину перекрытия обоих интервалов. Упражнение. Докажите также для винеровского процесса, что при 0 < Z1 < Z2
IU ,/.. .</>. «*!»„, = (4.2.7b)
<УлУ,„-=~Уг, (t»-ti). (4.2.7г)
Здесь i/j, (/2 обозначены K(Z1), K(Z2); символ < >г означает условное среднее при постоянном г. Упражнение. Найдите моменты <К (Z1) К (Z2) . . . К (Z„)> винеровского процесса.
(Используйте (1.6.11).) Упражнение. Покажите, что (4.2.5) удовлетворяет уравнению диффузии
для D- 1/2. Каково решение для произвольного D > 0? Упражнение. Убедитесь в том, что определение (2.2.6) непротиворечиво. Упражнение. Определите для пуассоновского процесса те же величины, что и в (4.2.7).
Упражнение. Вероятность перехода P l | г (у, Z | у0, 0) винеровского процесса подчиняется (4.1.5), когда G — заданный оператор с ядром
''»-4т V^nexp (42'9)
86 Упражнение. Как замечено в §4.1, марковский процесс с обращенным направлением времени также является марковским процессом. Постройте иерархию функций распределения для такого обращенного марковского процесса и убедитесь в том, что его вероятность перехода удовлетворяет уравнению Чепмена — Колмогорова.
4.3. СТАЦИОНАРНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Стохастические процессы, которые одновременно являются марковскими и стационарными, представляют собой интерес, в частности для описания равновесных флуктуаций. Предположим, что замкнутая изолированная физическая система описывается величиной или множеством величин Y ((), которые можно рассматривать как марковский процесс. В том случае, когда эта система находится в равновесии, Y (t) является стационарным марковским процессом. В частности, P1 не зависит от времени и является обычным
Рис. 6. RC-иепь с сопротивлением, поддерживаемым при постоянной температуре
Рис. 7. Шунтированное сопротивление при фиксированной температуре
равновесным распределением величины Y, определенным в соответствии с равновесной статистической механикой. В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из цепи, образованной сопрогивле нием R и емкостью С (рис. 6). Флуктуирующее напряжение Y (() на конденсаторе в хорошем приближении является марковским процессом при условии, что индуктивностью цепи можно пренебречь. Когда R поддерживается при постоянной температуре Г, напряжение Y (() является стационарным марковским процессом и
В качестве альтернативного примера можно привести флуктуации тока в цепи, образованной шунтированным сопротивлением при постоянной температуре (рис. 7).
Даже тогда, когда система находится в стационарном состоянии, отличном от равновесия, определенные физические величины могут описываться стационарными марковскими процессами. В качестве примера можно привести флуктуации тока в цепи, изображенной на рис. 7, когда в нее добавлена батарея, что означает постоянную
Lyi
2 kT
87 разность потенциалов и, следовательно, ненулевой средний ток. Другим примером является броуновская частица в однородном гравитационном поле: ее вертикальная скорость является стационарным процессом, однако это утверждение несправедливо относительно ее координаты.
Вероятность перехода P11, стационарного марковского процесса зависит не от двух времен, а только от временного интервала, для этого случая введем специальные обозначения
РцЛУ*, tt\yu М-ПЫу,). (4.3.1)
где т—(.2— Z,. Тогда уравнение Чепмена — Колмогорова принимает вид (т, т' ;> 0)
Т^хЛУз\У,)-- \ тх.(у3\у2)тг(у2\у1)6у.2. (4.3.2)
Если понимать интеграл как произведение двух матриц или интегральных ядер, то это уравнение можно переписать в следующем виде:
tt+ т- = tttt (г, тv0). (4.3.3)
Примечание. Хотя формулы (4.3.2) и (4.3.3) справедливы только при положительных т и т', определение (4.3.1) не ограничено положительными т. Однако величины Tx и Т-% связаны тождеством. Вспоминая значения Pi|i (см. (3.4.3)), получаем при т - t2—1\
P-ziyi, іН, t-z) -- Tx (у, Iy1) P1 (у,). (4.3.4)
Поскольку P-z симметрична, имеем
Txiyz I Уi) Pi (Ул) - T _т ({Уі I у.2) P1 (у.г). (4.3.5,
Это тождество справедливо для всех стационарных марковских процессов и поэтому может быть применено к физическим системам, находящимся в равновесии без дополнительного вывода его из уравнений движения. Однако это тождество не следует путать с соотношением детального равновесия, которое отличается от него тем. что имеет -|-т в члене, стоящем в правой части равенства. Детальное равновесие является физическим свойством, которое не вытекает из явного определения Tx , но требует физического вывода (см. § 4.6). Для того чтобы избежать неправильного использования уравнений (4.3.2) и (4.3.3), мы условимся, что в будущем не будем использовать символ Tx для отрицательных т.
