Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
K — sinX. Сделать то же самое, когда Р(х) = А -f-?sin* ! причем | В'\ <А¦—-
_ J_ \
2л j
Упражнение. Точка занимает б равной вероятностью любое место на окружности. Каково распределение ее азимутального угла по отношению к'некоторой точке, смещенной из центра окружности? Упражнение. Рассеивающий центр бомбардируется однородным пучком частиц. Налетающая частица с прицельным параметром отклоняется на угол 6 {Ь). Найдите дифференциальное сечение рассеяния.
Уточнение. Вся теория вероятностей представляет собой не что иное, как преобразование переменных. Некоторые распределения вероятности должны быть априорно заданы на множестве элементарных событий; дальнейшая задача состоит в преобразовании их в распределения вероятностей для возможных исходов, каждый из которых соответствует набору элементарных событий. Когда бросают две игральные кости, имеется 36 элементарных событий, при этом предполагается, что они имеют равную вероятность. Задача состоит в нахождении вероятности различных возможных сумм очков путем подсчета числа элементарных событий, приводящих к набору каждой суммы.
Математика может только вывести вероятности исходов из заданных а priori распределений. В приложении к реальному миру сначала нужно решить, какие заданные а priori распределения правильно описывают данную ситуацию. В задачах об азартных играх или о шарах в урнах правильный выбор (или по крайней мере правильный выбор, который имеет в виду автор) обычно столь ясен, что его обычно даже не упоминают. Это привело к ошибочной точке зрения, что чистая математика способна указать вероятности действительных событий, которые должны произойти, что, в свою очередь, привело к появлению большого количества литературы полуфилософского характера *.
Одна из попыток избежать явного предположения об априорной вероят-чости представляет собой «принцип недостаточности причин», который утверж-
* В качестве обзора: Lucas J. R. The Concept of Probability (Clarendon,
Oxford, 1970).
'•'28 . дает, что два элементарных события имеют одну и ту же вероятность, если нет причин считать иначе. Это в лучшем случае рабочая гипотеза: никакой философский принцип не подскажет, как идет игра —честно или краплеными картами. Этот принцип определенно не может лежать в основе квантовой •статистики
Более того, этот принцип становится вообще неприменимым, когда область возможных состояний непрерывна (так называемая «геометрическая вероят-iів'Йь»); Любое интуитивное представленне, что равные вероятности должны быть приписаны интервалам равной длины или равным объемам, зависит от выбора переменных. Поэтому такая интуитивная гипотеза лишена смысла, пока не определен выбор переменных. Обычно это можно сделать несколькими способами и иногда неясно, какой из них предпочтительнее. Равномерное распределение в пространстве скоростей—это не то же самое, что равномерное распределение по энергиям.
Опасность интуитивных представлений о равных ве. роятностях была красиво продемонстрирована Бертра. ном**. Возьмем фиксированную окружность единич. ного радиуса и нарисуем «случайным образом» пря. мую линню, пересекающую ее (рис. 1). Какова вероятность того, что хорда имеет длину больше, чем У 3? (Значение АГ 3 является длиной стороны равностороннего треугольника, вписанного в единичную окружность.)
Первый ответ. Возьмем две случайные прямые, проведенные через произвольно выбранную фиксированную точку Р, принадлежащую окружности. Все они, кроме касательной (вероятность равна нулю), пересекают окружность. Для того чтобы хорда была длиннее, чем У 3, она должна лежать внутри угла 60", в то время как допустимы углы от 0 до 180', следовательно, вероятность этого равна 1/3.
Второй ответ. Возьмем случайные прямые, перпендикулярные фиксированному диаметру. Длина хорды окажется больше V 3, если точка пересечения [Принадлежит средней половине диаметра; тогда вероятность составит 1/2.
Третий ответ. Для того чтобы хорда была длиннее У 3, ее центр должен лежать на расстоянии, меньшем 1/2 от центра. Площадь круга радиуса 1/2 составляет четверть площади исходного круга, тогда вероятность равна 1/4. Читатель может легко заметить, что каждое решение основано на различных предположениях о равных априорных вероятностях. Неопределенное выражение «случайном образом» не определяет априорной вероятности б достаточной мере для того, чтобы сделать выбор между решениями.
Использование метода' наименьших квадратов для выделения информации из несовершенных наблюдений предполагает специфическое априорное распределение вероятности ошибок, а именно распределение Гаусса. То же самое предположение не может быть справедливым для всех переменных, которые могут быть использованы для измерения наблюдаемых величин (не более чем для одной переменной и тех переменных, которые связана с ней линейными соотношениями). Метод наименьших квадратов, примененный к одним и тем же данным, записанным в частотной шкале и как функция длины волны, не дает одинаковых результатов; «Наилучшая оценка» яркости звезды зависит от того, применяется метод наименьших- квадратов к звездной величине или к ее светимости, выраженной в'энёргетических единицах. Спасительным обстоятельством служит то; что при малых ошибках любое разумное преобразование
