Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1 і у (-*)" л
F(l-x) т\ т
т — 1
— и покажите, что все пт для т > 1 равны нулю тогда и только тогда, когда распределение имеет вид (1.2.18).
1.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть X— случайная переменная, имеющая г компонент X1, X2, ..., Xr. Ее плотность вероятности Рг(х1у х2, ..., хг) называют также совместным распределением вероятности г переменных X1, X2, . . ., Xr. Возьмем подмножество S <. г переменных X1, X2, ¦ ¦ •, Xs. Вероятность того, что эти переменные имеют значения, лежащие между X1, X1^dX1, х2, X2 + dx, и т.д., независимо от значений остальных переменных Xj41, . . ., Xr составляет
Psix1, ..., xs)= 5 P г (X1, ¦ Xs, xs+1, . . ., xr)dxs+1. . .dxr. (1.3.1)
Это так называемое частное распределение для подмножества.
С другой стороны, переменным Х5+1, ..., Xr можно приписать фиксированные значения и рассматривать совместную вероятность распределения остальных переменных X1, ..., Xs. Это называется условной вероятностью переменных X1, ..., Xs при условии, что остальные переменные Х5+1, ..., Xr имеют заданные значения xs+1, ..., хг. Условную вероятность будем обозначать следующим образом *:
Psl^s^, ..., xs\xs + 1, ..., хг). (1.3.2)
Понятие условной вероятности можно пояснить на физическом языке следующим образом: из ансамбля, представляющего распределение в г-мерном пространстве, можно выделить подансамбль выборок, в которых Xs+1 = xi+1, ..., Xr = X2, тогда распределение вероятности в таком подансамбле есть (1.3.2).
Полное совместное распределение Pr равно частному распределению вероятности того, что переменные Xs+1, ..., Xr принимают значения xs+1, ..., хг, умноженному на условную вероятность того, что это в самом деле так, когда остальные переменные принимают
* Некоторые авторы используют обратное обозначение, записывая заданные переменные в первой части скобки.
19 значения X1, . . ., xs:
Pr (X1, . . . , Xr) = Pr^s (х?+1, • ¦ ¦ , Xr) Ps I г — s (#1, • ¦ • , Xs j xs + 1, . . . , Xr).
Это так называемое правило Байеса. Его обычно записывают в виде •Ps|r-s(x1( ..., xs\xs+1, ¦¦¦, xr) = -р г}*' г\ \ • (1-3.3)
rr-s l*j + l> • ¦ ¦ > xr)
Предположим, что г переменных можно разбить на два множества (X1, . . ., Xs) и (Xs+1, . . ., Xr), так что Pr факторизуется:
Pr (X1 • • ¦ , Xr) =Ps (X1, . . • , X5) Pr^s (xs м , . . . , Xr).
Тогда эти два множества называют статистически независимыми друг от друга. В этом случае множитель Ps является частной плотностью вероятности переменных Xb X2, . . ., Xs. В то же время он является условной плотностью вероятности
Ps j r-s ¦ • • , Xs I xs + u . , . , Xr) =- Ps (X1, . . . , Xs).
Это означает, что задание величин X1, . . ., Xs не влияет на распределение переменных Xshl, ..., Xr, и наоборот.
Замечание. Нетрудно убедиться, что если знаменатель в выражении (1.3.3) обращается в нуль, числитель также обращается в нуль. Для таких значений -•-, *г левая часть равенства не определена. Таким образом, условная вероятность не определена, если условие не может быть выполнено. Упражнение. Докажите и поясните нормировку условной вероятности
$ЯЧг_5(*ь ..., XsIXs-.,, ..., XrJ = Ps (X1, ..., xs)=l. (1.3.4)
Упражнение. Какой вид имеет совместная плотность вероятности, если все
переменные взаимно независимы? Упражнение. Максвелловский вывод распределения по скоростям в газе основан на предположениях, что распределение может зависеть только от модуля скорости I VI и декартовы компоненты скорости статистически независимы. Покажите, что эти предположения приводят к закону Максвелла. Упражнение. Вычислите частную и условную вероятности для двумерного кольцеобразного распределения:
Pi (Xi, х2) = п-Ч(хІ + хІ-~а2).
Упражнение. Обобщите это распределение на случай г переменных, равномерно распределенных на гиперсфере в«л измерениях, т. е. мнкроканони-ческое распределение идеального газа. Найдите частное распределение для X1. Покажите, что оно становится гауссовым в пределе г ->¦ оо при условии, что радиус сферы возрастает пропорционально У г. Упражнение. При бросании двух игральных костей выпало 9 очков. Найдите распределение вероятности очков, выпавших на первой кости при задан ной сумме. Почему этот результат не противоречит очевидному факту независимости игральных костей? Упражнение. Пусть P (t) — распределение вероятности продолжительности жизни в популяции. Покажите, что условная вероятность дожить до возраста т
для отдельного представителя популяции дается выражением
®
P\t\x) = P(t)j^P{f)dt'. (1.3.5)
T
20 Отметим, что в случае P (i) =ye~vt имеем P (t | х) — Р (t—т): вероятность выживания не зависит от возраста. Покажите, что это единственный случай, когда это так.
Моменты многомерного распределения имеют вид
<Х?'Х?\¦ .X?r>=S • .x?rP(xlt х2, . . ., xr)dxidx2. ..dxr
(их можно было бы обозначать \imi, т , тг, но это обозначение становится неудобным в случае многих переменных). Характеристическая функция в этом случае зависит от г вспомогательных переменных:
G (Jfe1, к.....kr) = <е' + + ¦ • -*кгхг)уш
