Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
**** ИСпользуем букву Q для этого распределения вероятности, т. к. P уже перегружено различными значениями.
37 наборов {ть т2, ..., т^}, отличающиеся друг от друга только перестановками, соответствуют одному и тому же состоянию. Кроме того, распространим определение Qs (ть т2, . . ., Tj) на все s-мерное пространство, поставив дополнительное условие, что Qs является симметричной функцией своих аргументов. Тогда условие нормировки (2.1.2) может быть записано в виде
\ dTxdT, ... dT,Q,(Tb T2, ..., Tj) = 1. (2.1.3)
S=I — GO
В этом интеграле две или несколько переменных т могут совпадать, тогда величина Qs в этих точках не определена. К счастью, множество таких точек имеет меру нуль в s-мерном пространстве, так что они не дают вклада в интеграл при условии, что Qs не содержит дельта-функций вида б (T1 — т2). Таким образом, мы ограничиваемся такими ситуациями, в которых отсутствует положительная вероятность совпадения точек: прилавок, у которого появляются покупатели, не обслуживает супружеские пары.
Средние определены для функций А на том же пространстве состояний; такие функции состоят из последовательности
\А„, A1 (Tj), A2 (ть т2), ..., ЛДт„ т2, ..., т,), ...}. (2.1.4)
В принципе каждое A6 необходимо определить только в области (2.1.1), но, имея в виду распространение на все s-пространство, мы опять дополняем определение функции As требованием ее симметрии. Тогда
% 1 р
(Ay — AnQa + -JJ- \ .4?(т,, т2, . . ., т5) Qs (т,, т2, . . ., T,)dT, . . . d^.
S= і
(2.1.5)
Таким образом, угловые скобки, означающие усреднение, подразумевают суммирование по всем s и s-кратное интегрирование для каждого S.
В качестве примера возьмем N точек в заданном интервале (ta, tb). Для того чтобы записать его в виде (2.1.4), мы определим индикатор* интервала %(t), полагая х(/)=^1 для ta<t<tb и X (О = O Для всех других значений t. Тогда физическая величина N представляется в виде последовательности
N - {0, X(T1), xW + xW, X (T1)+ Z(T2) +X(T3), ...}.
* Более общепринятое название характеристическая функция внесло бы путаницу в данном контексте.
39 Ее среднее значение записывается в виде
(2.1.6)
Как мы видим, результат получился весьма непростым и искомое среднее оказалось выраженным через сумму по всем Qs. В § 2.3 будет развит еще один подход к описанию случайных точек, который лучше приспособлен для вычисления таких средних.
Упражнение. Переход от ограниченной области (2.1.1) к полной области с симметричной функцией Qs особенно удобен (если не обязателен) для обобщенного описания случайных точек на плоскости или в пространстве. Запищите явно функции Qs для большого канонического ансамбля молекул идеального газа в заданном объеме. Упражнение. Покажите, что средний квадрат числа точек N в интервале (/0, tb) дается выражением
® I6 '6 ж
<tf»> = < A'>-, V —Ц-г \ ClT1 С (IT2 f dT3...dTsQs. (2.1.7)
< (S—J J J
S = 2 ta ta - *
Упражнение. Случайное множество точек в интервале (0, оо) строится следующим образом: вероятность того, что первая точка лежит в интервале (Ti, Tj + dTj), есть Si1(Tl) ать где W — заданная неотрицательная функция, удовлетворяющая условию
со
[w(r) сіт = — <-. 1. (2.1.8)
о
Плотность вероятности для второй ТОЧКИ есть w (t2 — Tl) и т. д. Вычислите Qs-
Упражнение. Электроны попадают на катод случайным образом, причем этот процесс определяется заданными Qs. Попадание электрона в момент т вызывает отклик в выходной цепи, который в момент і имеет значение г|з (—т). Полный отклик в момент времени t есть Y (0=^2^(^ — т,;). Вы-
S
разите <К (/)>, (Y (г)2>, <К (J1) Y (?2)> через эти данные. Упражнение. Обобщите этот подход на описание точек двух (или большего
количества) сортов («меченые точки»). Упражнение. Предположим, что существует ненулевая вероятность совпадения пары точек. Этот случай можно описать с помощью введения точек двух сортов, а именно изолированных и двойных точек. Покажите, что соответствующее дв^хсортовое распределение может быть перестроено в одно-
(Лг> = (2 хЫ)
0= і
SL it J dTi •• • dTs Q (ті, • • •, т,) Yd г :
s=i -со
(t= 1
J Г» г>
(Ш)ї \ Z(Ti)^i I (1т2 ... (IxjQe(Ttl ..., T4) =
V -J-Li. (s— 1)!
S= 1 ta - <*>
о ~
f CiT1 \ dT2 .. . dxs Qs (х,, . . ., Ts).
40 сортную последовательность Qs, которая в этом случае содержит дельта-функции.
Упражнение. Объекты (2.1.4) образуют линейное векторное пространство. Скалярное произведение определено с весовой функцией 1/s!, так что выражение (2.1.5) является скалярным произведением {A, Q). Запишите выражения (2.1.3) и (2.1.7) также в виде скалярных произведений.
2.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
Случайные события называют независимыми, если каждое фактор изуется:
Qsirl, т2, .... T,) = е- q(x,)q(x2)...q(xs); Q„ = t~\ (2.2.1)
где q — некоторая неотрицательная интегрируемая функция. Константа нормировки e~v определяется выражением
S <7(т) dT.
(2.2.2)
В этом случае для среднего числа N в интервале (ta, tb) из выражения (2.1.6) легко находим
