Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Р(х, г) Ax= S Pn (г).
X <пг- '/2 &х
Масштаб подбирают таким образом, чтобы сделать ширину постоянной. В результате отдельные шаги перенормируются множителем г-1'2. Интервал Ax мал, но конечен, так что для больших г он содержит много положений, а именно г1'2 Ах. Используя формулу Стерлинга, находим
P (х, г) Ax ~ ~ г1/2 Ax^ exp J г log г — г -г — log 2ягlog +
г — п I1 , . г ~ п, г + п , г+я 1, , , .
-T ~2--"2 log Л (г— л)--j- log —і--2--у Iogn (г +п) .
Коэффициент 1/2 введен, потому что каждая вторая рп равна нулю. Собирая члены требуемого порядка, получаем выражение
1 -H2
Iim Р(х, г) = —1 , (1.4.8)
\ 2 л
которое является распределением Гаусса (1.2.4).
Упражнение. Дайте чисто комбинаторный вывод выражения (1.4.7) путем подсчета числа последовательностей из г шагов, оканчивающихся на п. Упражнение. Положив /? = иг—1/2, получите из (1.4.6) асимптотическую формулу (1.4.8).
Упражнение. При асимметричных случайных блужданиях на каждом шаге вероятность шага влево есть q и вероятность шага вправо 1—q. Найдите рп(г) для этого случая.
Упражнение. Предположим, что на каждом шаге имеется вероятность qv сделать шаг длиной V единиц (v—±1, ±2, ...), а также вероятность qa остаться на месте. Найдите рп (г) для больших г. Упражнение. Пусть имеется бесконечное множество {X/} независимых стохастических переменных с одинаковыми распределениями P (х) и характеристической функцией G (k). Пусть г есть случайное положительное целое число с распределением рг и производящей функцией вероятности /(г). Тогда K=-X1^-X2+...+Xr есть случайная переменная. Покажите, что ее характеристическая функция есть f(G(k)). (Распределение Y называют «сложным распределением», см. [1, гл. XII].)
1.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть непрерывная однокомпонентная переменная X отображается на новую переменную Y с помощью соотношения
Y = f(X). (1.5.1)
Хорошо знакомыми примерами служат переход к логарифмической шкале (К = IogX) и преобразование от частот к длинам волн (К=1/Х). Вообще говоря, области изменения Y и X могут отличаться друг от друга. Вероятность того, что Y принимает значения, лежащие
26 между у и уAy, дается выражением
PУ (У) by= S Px(x)dx.
у < IM <у~\у
Интеграл берется по всем интервалам области изменения X, в которых выполняется неравенство. Это же соотношение можно записать в следующем виде:
Py(y)=^[f(x)-y]Px(x)dx. (1.5.2)
Отсюда для характеристической функции переменной Y выводим:
Gy (К) = <eikl(X>>. (1.5.3)
Эти выражения остаются справедливыми, если векторы XhY имеют соответственно THS компонент, причем SHT могут быть не равны. Типичный пример случая с г = 3, S--I—это преобразование распределения Максвелла для X = (их, иу, vz) в распределение по энергиям E = 1/2m(v'x + vlJrvl):
/і / " тя2
P (E) = ( б (1 mv*-E j (^] 3V^ dvx dvy =
= 2л-1/2 (67)-3/^1^ kT
(«гамма-распределение», или «х2-распределение»),
В частном случае, когда только одно значение X соответствует каждому значению Y (и следовательно, r = s), можно обратить (1.5.1) и получить X = g(Y). В этом случае преобразование плотности вероятности сводится к
Py (у) = Px (X)J,
где J — абсолютное значение определителя Якоби d(x)/d((/). Это соотношение можно запомнить в виде
Py (У) dry = Px (X) drX,
при этом нужно позаботиться о выполнении условия единственности и иметь в виду, что может возникнуть необходимость изменить знак.
Примечание. Рассмотрим, в частности, группу линейных преобразований
Y-=IiX-Jr b, a T- Q (1.5.4)
Они преобразуют Px в Py, но разница столь незначительна, что они часто рассматриваются как одно и то же распределение и имеют одинаковое название. Это преобразование можно использовать для приведения распределения к стандартному виду, например к распределению с нулевым средним значением и единичной дисперсией. В случае решеточного распределения преобразование (1.5.4) можно применять для того, чтобы совместить узлы решетки с целыми числами. Действительно, использование (1.5.4) для сведения распределения к простой форме столь тривиально, что оно часто делается неявно при постановке задачи или при выборе нуля и масштаба.
' 27 Упражнение. Выведите уравнения для сложения переменных как частный
случай формул преобразования настоящего раздела. Упражнение. Семейство гамма-распределений определено при помощи соотношения
av
Р Г^Т** 'Є а* (а > v > 0 < * < °°>- С-5.5)
Пусть X1, X2, .... Xr-независимые гауссовы переменные с нулевыми средними значениями и дисперсией а2. Докажите, что K-Xi--Xi-,..
...+Xr является гамма-распределением. Упражнение. Предположим, что диаметры набора шаров распределены в соответствии с (1.5.5). Предположим, что все они имеют одинаковую форму, так что их объем у = х3. Найдите распределение у. его среднее и дисперсию и сравните их с соответствующими свойствами х. Упражнение. Пушка выстреливает ядро с начальной скоростью' v и углом к горизонту 9. Обе переменные у и 9 могут быть источником неопределенности, которая описывается гауссовым распределением для каждо-й tcepe-мениой. Распределения центрированы соответственно в точках и0 и O0 и столь остры, что нефизическими значениями, такими, как: отрицательные или 6, можно пренебречь. Каково распределение вероятности дальности полета пушечного ядра? Упражнение. Как преобразование (1.5.4) влияет на кумулянты? Упражнение. Множеством возможных значений X является интервал (0, 2л). плотность вероятности постоянна в этой области. Найдите распределение
