Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
пр(п)-(п-)) P (и- I) — р (п —2). Найдите р (л) и покажите, что р (п) —> е-1 когда п —с оо.
1.2. СРЕДНИЕ
Множество состояний и распределение вероятностей совместно полностью определяют стохастическую переменную, однако часто используют «некоторые дополнительные понятия». Среднее (или ожидаемое) значение любой функции f(X), определенной на том же пространстве состояний, дается выражением
</(*)> = S/ (*)P(*)d*;
в частности, <Х"\> = называют т-м моментом X, a —средним. Величину
02 = <(Х-<Х>)2> = щ-цї (1.2.1)
называют дисперсией, она является квадратом стандартного отклонения а.
Не все распределения вероятностей имеют конечную дисперсию: контрпримером служит распределение Лоренца (или распределение Koiuu)
^ W =4(*-^° (-°о<*<оо). (1.2.2)
* Phylos. Trans. Roy. Soc. (London, 1819), p 70; M. G. Kendall. Biomet-rika, 55, 249 (1968).
14 Упражнение. Найдите моменты «прямоугольного» распределения, определенного выражением
P (X) = 0 при I X I > а; Я (ж) = (20)-1 при І де I < а. (1.2.3)
Упражнение. Распределение Гаусса определено выражением (ср. § 1.6)
__L -Ljc2
Я (х) = (2л) 2 е 2 (—оо < X < оо). (1.2.4)
Покажите, что Ji^ + J — О и
Han = (2л— 1)!! —(2л — 1) (2л— 3) (2л — 5) ... 1.
Упражнение. Постройте распределение, у которого существуют моменты (i„
вплоть до заданного порядка л, но не выше. Упражнение, Из (1-2.1) можно вывести неравенство (х23г|х2. Аналогично, из очевидного факта ^iX + Я.2Х2 |2> a= О для вс^х X0, Я.,, K2 докажите
неравенство
Иі І-І2 M-I JA2 (із ЗгО. (X2 Мз Й4
Найдите аналогичные неравенства для высших моментов *. Упражнение. Убедитесь, что требование (1.1.1) можно заменить условием
^ f {х) P (х) dx О для любой неотрицательной непрерывной функции
которая равна нулю вне конечного интервала. Это условие относится также к случаю (1.1.3) и исключает появление производных от дельта-функций в Я.
Упражнение. Покажите, что для каждого п--.-1, 2, 3 функция
Я (X) п^ ~Х 1„(х),
представляющая плотность распределения вероятностей наО<х<оо, не имеет среднего (здесь через /„обозначена модифицированная функция Бесселя).
Характеристическая функция стохастической переменной X, у которой областью возможных значений является множество действительных чисел или его подмножество, определяется выражением
G (k) = <eifex> = 5 eikxP (х) dx. (1.2.5)
/
Характеристическая функция определена для всех действительных k и обладает свойствами
G(O) = I, |G(A)|<1. (1.2.6)
Она также является производящей функцией моментов в том смысле, что коэффициенты ее разложения в ряд Тейлора по k являются моментами:
®
(1.2.7)
т—0
* J. A. Shohat and J. D. Tamarkin. The Problem of Moments (American Mathematical Society, New York, 1943).
15 Это предполагает, что производные от G (k) при & = 0 существуют вплоть до тех значений т, что и сами моменты. Та же самая функция служит производящей функцией кумулянтов х,п, которые определены выражением
CD
IogG(^)=X (1.2.8)
т — 1
Они являются комбинациями моментов, т. е. H1 = Ii1:
X2 = H2-W = O2;
= !Ч — 3u2fx, -f 2ц?; X4 = ji4 — — Зці 4-12^2^1 —
Упражнение. Вычислите характеристическую функцию прямоугольного распределения (!.2.3) и найдите таким путем его моменты. Упражнение. Покажите, что для распределения Гаусса (1.2.4) все кумулянты, кроме второго, равны кулю. Найдите наиболее общее распределение, обладающее таким свойством. Упражнение. Распределение Пуассона иа множестве натуральных чисел п—0, I, 2, ... определено выражением
Pfi = jJe-". . (1.2.10)
Найдите его кумулянты *. Упражнение. Перейдите в выражении (1.1.5) к пределу V2-* со, Л'—-«- оо, Л>7V2 — р •-= const. В результате должно получиться выражение (1.2.10) с «—pV'i. Таким образом, число молекул в малом объеме, связанном с бесконечным резервуаром, распределено по Пуассону. Упражнение. Вычислите характеристическую функцию для распределения Лоренца (1.2.2). Как с ее помощью можно показать, что моменты этого распределения не существуют? Упражнение. Найдите распределение и его моменты, соответствующие характеристической функции G(k)--cosak. Упражнение. Докажите, что характеристическая функция любого распределения вероятностей равномерно непрерывна на действительной оси k. Упражнение. Нет причин, из-за которых характеристическая функция должна быть положительной для всех k. Почему это обстоятельство иг ограничивает справедливости определения кумулянтов (1.2.8)?
Из уравнения <і .2.5) следует, что G (k) является Фурье-образом от функции Р(х), которая совпадает с P (х) внутри интервала / и равна нулю вне его. Тогда
ОС
Р W = І J G(*)e-,te dk.
- CD
При нормальном обращении небольшая разница между PwP может не проявиться, но для прояснения ситуации сделаем следующее примечание.
* Выражение для моментов дано С. S. Kelly. Phys. Rev., В 20, 3221 (1979).
16
(1.2.9) Предположим, что X принимает только целые значения п—. . . ..., —2, —1, 0, 1, 2, ... с вероятностями рп. Для того чтобы построить характеристическую функцию, нужно записать это дискретное распределение как распределение на всех действительных числах:
