Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Р{х) = ЦрпЦх-п). (1.2.11)
п
Тогда общее определение (1.2.5) дает
G(*) = 2 Рп*кп\
п
G (k) является периодической функцией k, а ее Фурье-образ воспроизводит, конечно, выражение (1.2.11). Переменная k изменяется в интервале (—оо, • оо). Добавим однако, что сама вероятность рп получается выполнением преобразования Фурье по одному периоду:
2л
рп = ± f G(k)e-^dk. (1.2.12)
о
Любое распределение с множеством возможных значений, состоящим из точек
па (а > 0; п = . ¦ ¦, —2, -I1 0, 1,2,...), (1.2.13)
называют решеточным распределением. Для таких распределений і С(/г)| является периодической функцией с периодом 2я/а, и, следовательно, она принимает максимальное значение, равное единице, не только при k—0. Этот факт характеризует решеточные распределения; для всех других распределений неравенство (1.2.6) может быть сделано строгим*:
|G(/e)| <1, кфО. (1.2.14)
В более общем случае можно задать вопрос: как отражается на свойствах функции G тот факт, что значения величины х содержатся в подмножестве / множества действительных чисел? Если / представляет собой —а < х < а, то известно, что G (k) аналитична во всей комплексной Ze-плоскости и относится к «экспоненциальному типу»**. Если / является полуосью X ^ 0, функция G (k) аналитична и ограничена в верхней полуплоскости. Однако полного ответа на поставленный вопрос в общем виде не существует, и это обстоятельство оказывается важным в некоторых задачах.
* Об этих и других свойствах характеристических функций см.: Е. Lukacs Characteristic Functions (Griffin, London, 1960); P. A. P. Moran, An Introduction to prabability theory (Clarendon, Oxford, 1968).
** R. E. A. C. Paley and Wiener, Fourier Transforms in the Complex Domain (American Mathematical Society, New York, 1934).
17 Примечание. В практических вычислениях множитель і в (1.2.7) и (1.2.8) неудобен. Этого можно избежать, если положить ift = .s и использовать характеристическую функцию <es*>; надо, однако, иметь в виду, что ее существование гарантировано только для чисто мнимых s. Когда X принимает только положительные значения, использование функции <e_iA">, существующей в правой полуплоскости комплексной s-плоскости, имеет некоторые преимущества. Если X принимает только целые значения, удобно использовать производящую функцию вероятности F(z) = (zxy, которая однозначно определена для всех г на единичной окружности |z|=l и будет использована в гл. 6. Когда X принимает только неотрицательные целые значения, F (г) также определена и ана-литична внутри этого круга.
Упражнение. В действительности наиболее общее решеточное распределение определяется не множеством возможных значений (1.2.13), а множеством na-i-b. Пользуясь этим определением докажите, что (1.2.14) остается в силе тогда и только тогда, когда P (х) не является решеточным распределением. Упражнение. Возьмите любые г действительных чисел ku ft2, ..., kr и рассмотрите лх/"-матрицу, у которой элементом с индексами i, / служит G (ft,— kj). Докажите, что эта матрица нормально положительно определена, но может быть полуопределенной для некоторых специальных распределений. Функции G, обладающие этим свойством для всех множеств {ft}, называют положительно определенными или положительного типа. Упражнение. Когда X принимает значения только 0, 1, 2, ..., факториаль-ные моменты Фт можно определить следующим образом:
Фо=1' 1,9 1?
Фт^<Х (X-I) (Х-2)...(Х-т+1)>(ш^1). U ^10'
Покажите, что все они также генерируются функцией F, а именно;
X
F(1-*)= ? (1.2.16)
т =0
Упражнение. Факториальные кумулянты Qm определены выражением
X
logf(l-x)= X -?^"^- (1-2-17)
т = \
Выразите несколько первых из них через моменты. Покажите, что у рас пределения Пуассона (1.2.10) все факториальные моменты, кроме ot, равны нулю.
Упражнение. Найдите факториальные моменты и кумулянты для распределения (1.1.5).
Упражнение. Гармонический осциллятор с уровнями nhx (я = О, I, 2, ...) в термодинамическом равновесии имеет вероятность находиться на уровне п:
Pn = (I-T)Yn- (1-2.18)
где у = ехр[—hv/kT)]. Эту функцию называют геометрическим распределением илн распределением Паскаля. Найдите факториальные моменты и кумулянты такого распределения и покажите, что его дисперсия больше, чем у распределения Пуассона с тем же самым средним. Упражнение. Hohlraum — это набор большого числа осцилляторов с различными частотами. Предположим, что имеется Z осцилляторов в интервале частот Av, много меньшем, чем kT/h. Вероятность найтн п квантов в этой группе осцилляторов дается «отрицательным биномиальным распределением» *
__^'-^fO^fv» (1.2.19)
* См., например: D. der Haar, Elements of Statistical Mechanics (Holt, Kinehart, and Winston, New York, 1954), p. 74.
18 (для Z=I это выражение сводится, конечно, к (1.2.18)). Выведите из (1.2.19) аналогичную формулу для равновесных флуктуации в Бозе-газе. Упражнение. Обычные кумулянты удобно использовать, если приходится иметь дело с распределением Гаусса, а факториальные кумулянты — с распределением Пуассона. Другие кумулянты можно определить таким образом, чтобы они были удобны в работе с другими распределениями. Например, определите лт следующим образом:
