Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
сведения о которой получаются из эксперимента. В соответствии с иде: ей
Ландау состояние диссимметричной фазы может быть охарактеризовано
небольшим количеством величин, образующих в своей совокупности "-
компонентный параметр порядка. Для выявления параметра порядка в данной
диссимметричной фазе и установления неприводимого представления, по
которому произошел переход из исходной фазы, необходимо, как следует из
соотношения (1.23), вычислить базисные функции неприводимых представлений
группы симметрии исходной фазы. Базисные функции следует, очевидно,
строить из локализованных атомных функций скалярного, векторного,
псевдовекторного и т.д. типов в соответствии с тем, какая физическая
характеристика возникает в диссимметричной фазе на каждом отдельном
атоме. Ниже излагается универсальный метод лострое-
ния таких базисных функций, учитывающих микроскопическую структуру
кристалла.
Фазовые переходы, которые характеризуются макроскопическими параметрами
порядка, такими, как тензор деформации,требуют и других базисных функций,
учитывающих лишь макросимметрию кристалла. Они будут рассмотрены отдельно
в гл. 6.
Рассмотрим кристалл, содержащий ./V примитивных ячеек. Пусть в каждой
ячейке имеется aR тождественных атомов, занимающих одну и ту же позицию в
группе G, состояние которых в кристалле характеризуется //-компонентным
тензором произвольного ранга. Тогда состояние кристалла в целом
описывается R aRTV-мерным столбцом, указывающим значения всех компонент
тензора на каждом атоме. Пусть состояние кристалла характеризуется
определенным волновым вектором к. Для исследования трансформационных
свойств такого многомерного вектора под действием элементов группы Gg
удобно ввести орты R /V-мерного пространства
= ? С0Д еХР Ukt>! ' (3 -1 )
где е*(r) является Ror-мерным столбцом, у которого все компоненты равны
нулю, кроме одной, равной единице, соответствующей /-му атому нулевой
ячейки и /3-й компоненте тензора. Символ Xs означает прямую сумму по всем
N ячейкам кристалла, получаемым из нулевой ячейки трансляциями Г".
Функции ^ являются собственными функциями оператора трансляций, поскольку
по определению (3.1) справедливо соотношение
7'(^)/>^=ехр(-iktjvjf ¦ ¦ (3.2)
Таким образом, функции являются функциями блоховского типа, и именно
такой смысл имеет присвоение им индекса к.
Посмотрим, как трансформируются функции под действием элемента g = {h\th
} группы Gg. 3foT элемент переводит атом с номером/ и координатой г j из
нулевой ячейки (в общем случае) в атом с номером / другой ячейки:
grj = hrj +th= п +aif(g), (3.3)
что символически можно записать еще и так :•
g(JO) -*¦ (щ). (3.4)
Кроме того, /3-компонента атомного тензора преобразуется через другие a-
компоненты по закону преобразования тензора. Таким образом, результат
действия оператора T(g) на функцию ^ можно записать в виде
j T(g)*jf = expHta,/^)]^^)^, ' (3-5>
где DRP(h) - матрица преобразования тензора под действием поворотной
части h элемента {h\t),}. Смена номеров атомов происходит при этом по
соотношению (3.4).
22
Полученный вектор можно разложить по ортам введенного пространства и
записать результат в виде
0.6)
ia
Это соотношение определяет собой тензорное представление dк группы
волнового вектора GСравнивая соотношения (3.5) и (3.6), получаем явный
вид матриц этого представления
= expl-^teMS,. W^(A), (3.7)
где 5-символ учитывает условие (3.4) перестановки атомов под действием
элемента g.
Размерность матриц тензорного представления равна Ror XRor, и ясно, что в
общем случае оно должно разлагаться на неприводимые представления dk р
группы G/с, что символически можно записать в виде
dkR=T,nvdkl\ (3.8)
V
Кратность nv вхождения v-ro НП определяется по общей формуле приведения
nV = \\Gkr4xkR(g)Xkv(gh g?Gk-, (3.9)
а
где xkv - характер НП dkv, a Хя(#) -характер тензорного представления,
который, согласно соотношению (3.7) , может быть представлен в виде
XkR(g)'=Xk(g)XR{g)- (310)
где
xf,(g) = 2 ехр[ -ikajj(g)] 5/tg/. • (3.11)
i
XR(g) = Sp DK (h). (3.12)
В выражении (3.9), где суммирование ведется па всем элементам
пространственной группы G/c, можно просуммировать по трансляциям, так что
останется лишь сумма по элементам# из группы 6*, принадлежащим нулевому
блоку. Обозначим совокупность этих элементов G%, а число их - через ||С^
|| . Тогда вместо формулы (3.9) будем иметь выражение, удобное для
практических вычислений (# ? G% ):
nv = l\G°irl X xkR(g)Xkv(g\ (3-13)
Тензорное представление построено нами на .базисе локализованных атомных
функций. Из них можно построить симметризованные комбинации, которые
будут преобразовываться по НП, входящим в состав тензорного
представления. Именно они и требуются нам для описания состояний
кристалла, возникающих из исходной фазы в результате фазового перехода по
некоторому .НП.
23
Для построения базисных'функций ^ НП группы Gk можно, воспользоваться
формулой оператора проектирования (g GGk)
' (3.14)
g
