Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
этого интервала, запишем разложение в виде
Ф = Ф0 +гг)2 + иц3 + urf + ..., (1-1)
где Ф0 - значение потенциала в исходной фазе, а г, и и и - некоторые
параметры системы, зависящие отТиХ.
Равновесное значение параметра порядка определяется из условия минимума Ф
как функции Т7 и находится из двух соотношений:
Уравнение (1.2) поясняет, почему в разложении (1.1) не содержится
линейного по г? члена.
Приведем основные аргументы теории Ландау: для того чтобы в исходной фазе
(при Т>Т0) равновесное значение т? равнялось нулю, необходимо, чтобы г >
0; с другой стороны, для появления отличного от нуля т? при Т < Т0 -
необходимо, чтобы г < 0. Следовательно, в самой точке перехода г = 0.
Можно предполагать, таким образом, что коэффициент при квадратичном члене
в разложении Ф является в окрестности Т0 линейной функцией температуры:
ЭФ/Эц = 0, Э2Ф/Эт?2 >0.
(1.2)
(1.3)
г~Го(Т - Г0) + ... .
(1.4)
9
ф
7
Р и с. 1.1.Термодинамический потенциал в окрестности фазового перехода
второго рода.
Рис. 1.2.Температурная зависимость параметра порядка в термодинамической
теории фазовых переходов второго рода.
Рассмотрим вначале случай, когда коэффициент v тождественно равен нулю.
Для таких фазовых переходов условие устойчивости (1.3) в самой точке
перехода дает
и > 0. (1.5)
Будем предполагать, что в окрестности перехода коэффициент и при всех Т
положителен, а г меняет знак по закону (1.4). В этих условиях становится
термодинамически выгодным появление конечного значения параметра порядка
г?. Действительно, уравнение (1.2) можно записать в виде
Т7(г + 2мт72 ) = 0, (1.6)
откуда следует, что оно имеет два вещественных решения: 77 = 0 для Т> Т0
и
ц = (-г/2и)Ч2-(Го-Г)1'2 для Т<Т0. (1.7)
Таким образом, температура Т = Т0 является точкой ветвления решения
уравнения для равновесного значения параметра порядка. Имея в виду
зависимость величин г и и от Т и X, будем называть это уравнение
уравнением состояния. Описанная ситуация иллюстрируется также рис. 1.1,
где возникновение конечных значений параметров порядка при Т < Т0
описывается появлением минимумов в термодинамическом потенциале.
Мы видим, как из простых аргументов Ландау вытекает фундаментальный
результат (1.7) о температурной зависимости параметра порядка (рис. 1.2)
вблизи,фазового перехода второго рода. Подчеркнем, что этот результат
относится к случаю, когда в разложении термодинамического потенциала по
степеням параметра порядка не содержится кубического члена по 77. Теперь
специально рассмотрим случай, когда такой член присутствует, и убедимся,
что он приводит к фазовому переходу первого рода, когда в точке перехода
нарушается непрерывность и возникает скачок параметра порядка.
Запишем уравнение состояния (1.2) для разложения (1.1), включая
кубический член:
т?(2г + Зит? + 4нт?2) = 0.
10
0,8)
Рис. 1.3.Решения уравнения состояния (1.8) при напи;
чии кубического члена в Ф. Штриховая кривая - фазовый переход второго
рода при и = 0.
Имеется два ненулевых решения: т?± = - Зи/8и ± [(Зи/8и)2 - г/2и] 1^2,
(1,9)
которые будут вещественными при положительном дискриминанте, т.е. при
г < 9v2 /32м. (1.10)
Эти решения как функция г, т.е. температуры, приведены на рис. 1.3.
Симметрия кривой г?(г ) относительно оси г отвечает инвариантности
уравнения состояния относительно замены
v '->¦ -о, г? -7?.
Неоднозначный характер параметра порядка в области температур,
соответствующих интервалу г между точками А и В, указывает на
нестабильность состояния с соответствующими значениями параметра порядка.
При г > г А = 9и2/32м невозможно ненулевое значение параметра порядка;
таким образом, точка г = гА определяет- границу абсолютной неустойчивости
упорядоченной фазы. С другой стороны, значение г = 0 отвечает, очевидно,
границе абсолютной неустойчивости неупорядоченной (исходной) фазы с т] =
0. Указанные границы значений г определяют две температуры:
ТА - Т0 + 9v2 /32иго, ТВ = Т0, (1.11)
причем ТА - температура перегрева упорядоченной фазы, а Тв - температура
переохлаждения неупорядоченной фазы (мы считаем, что упорядоченная фаза
существует при более высоких температурах, чем неупорядоченная) .
Истинный фазовый переход происходит при температуре тв<тс<тА.
Соответствующее Тс значение г = гс вместе с равновесным значением
параметра порядка г? = г)с находятся из совместного решения уравнения
состояния (1.8) и равенства термодинамических потенциалов в упорядоченной
и неупорядоченной фазах:
гт72 +щ3 +UT14 =0. (1.12)
Это дает значение температуры фазового перехода и скачка параметра
порядка в точке перехода:
Тс = Т0 - V2/4иго , rtc = -vj2u. (1-13)
Нетрудно убедиться, что полученное значение ric отвечает наибольшему (по
модулю) из двух возможных значений параметра порядка для г =гс (рис.
1.3). Состояние с наименьшим значением т)с имеет большую энергию и
является, таким образом, метастабильным.
Мы пришли к заключению, что наличие кубического члена в разложении Ф
делает фазовый переход переходом первого рода. Фазовый переход второго
