Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Предлагаемая читателю книга излагает основные направления развития теории
Ландау и дает современное состояние феноменологической трактовки фазовых
переходов в кристаллах и рабочих методов теории.
§ 2. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП
Неприводимые представления пространственных групп. Поскольку в данной
книге изучаются фазовые переходы в кристаллах, математический аппарат
теории строится на представлениях пространственных групп. Мы предполагаем
у читателя общее знакомство с основами теории представлений групп в
объеме курса Ландау и Лифшица [2] и приведем в этом параграфе лишь
важнейшие сведения из теории представлений пространственных групп,
которые понадобятся для дальнейшего изложения. Более детальное изложение
теории самих пространственных групп и их представлений читатель может
найти-во многих книгах, среди которых мы рекомендуем монографию [28], где
используются те же обозначения, что и в данной книге.
Неприводимые представления пространственных груцр характеризуются
волновыми векторами, определенными с помощью векторов обратной решетки
кристалла. Если обозначить основные векторы трансляций кристалла 11, 12,
t з, то основные векторы обратной решетки Ь,, Ь2, Ь3 определяются, как
известно, выражениями
b, =2irV^l[t2 t3], b2=2irV0-l[t3 tl], b3 =2лК-01[г1 t2], (2.1)
где V0 = [?! f2] / з - объем примитивной ячейки кристалла. Если основ-
ную зону кристалла выбрать в виде параллелепипеда, построенного на
векторах N,t,, N2t2, N3t3 (N, , N2, N3 - большие целые числа), то
волновой вектор определяется как величина
k = (pjNx)bl+(p1IN2)b%+(p3lN3)b3, (2.2)
гдеР\,р2,Ръ - целые числа, удовлетворяющие условиям 0 <pj <N- 1.Таким
образом, выражение (2.2) определяет N допустимых значений волно-
17
вого вектора, гдсуУ=уУ1 jV2jV3- число примитивных ячеек в основной зоне
кристалла. Все определенные таким образом значения волнового вектора
лежат в примитивной ячейке обратной решетки.
Построение НП пространственной группы С связано с действием ее элементов
g на заданный волновой вектор Л. Часть элементов группы G оставляет
вектор к инвариантным или переводит его в эквивалентный вектор,
отличающийся на произвольный вектор обратной решетки Ь. Совокупность всех
таких элементов, удовлетворяющих условию
gk = k + b, (2.3)
образует подгруппу Gg группы G и называется группой волнового вектора.
Группа Gg, таким образом, характеризует собственную симметрию волнового
вектора к. Все различающиеся по симметрии волновые векторы и
соответствующие им группы Gg табулированы в специальных справочниках [29,
30]. Мы будем пользоваться справочником Ковалева [29].
НП группы волнового вектора Gg характеризуются, волновым вектором к и
номером представления v. Матрицы представлений dkv (g) для элементов
группы Gg следует брать из таблиц, например [29], где они выписаны только
для элементов нулевого блока группы Gg, т.е. элементов, не содержащих
целых трансляций t. Элементы g пространственной группы будем обозначать
символом g = { И | t/t +f} , где h - поворотная часть элемента, th -
сопровождающая нетривиальная трансляция и t - произвольная целая
трансляция. Матрицы НП для любого элемента группы Gg выражаются через
матрицы элементов нулевого блока посредством соотношения .
dkv{{h\th +t)) = e-iktdk4{h\th )). (2.4)
НП всей пространственной группы G характеризуются звездой волнового
вектора, которую обозначают {к}. Звездой называется совокупность
неэквивалентных волновых векторов, получающихся из данного вектора
действием всех элементов пространственной группы, а входящие в эту
совокупность отдельные векторы называются лучами звезды. Лучи звезды kj
могут быть получены действием элементов gj на данный волновой вектор к:
kj =gLk, (2.5)
причем эти элементы являются элементами-представителями разложения* в
смежные классы группы G по ее подгруппам Gg:
G-'EgIGk (Ь = 1,2............................................. <2.6)
L
Число лучей звезды I g равно, очевидно, индексу подгруппы Gg относительно
группы G и не превышает для всех пространственных групп 48 -
максимального числа элементов в точечных группах кристаллов.
Соотношение (2.6) дает возможность построить матрицы НП D^v{g)
пространственной группы G из матриц dkv (g) НП группы Gg. Размерность
этих матриц, очевидно, будет равна lvlк, где lv - размерность НП dkv.
Связь между ними дается соотношением
1, SiigM^Gk' (2 7)
gL1ggM$Gg-
18
Здесь X, д = 1,2, ..., /" - матричные индексы представления dkv, L и М
обозначают номера представителей в разложении (2.6): они же являются
номерами лучей звезды. Таким образом, беря из таблиц [29] матрицы НП
группы волнового вектора, можно по формуле (2.7) получать матрицы со-
ответс!вующего НП всей пространственной группы.
Базисными функциями НП группы Gk являются блоховские функции вида
ф\Чг) = eikru*v(r), (2.8)
где ukxv (г ) - периодические относительно трансляций кристалла функции.
Под действием элемента группы Gk набор функций^*" (X = 1,2, ..., /" )
