Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
группы 0\
Таблица 2.4
А. К *'з
1 1 2
АТ. *24 Ats
3 4 3
*25 * и *27
2 2 1
Л*7 л,: й3*
4 3 4
*4 К *.
2 5 6
*и *:, *:"
4 1 1
*28 *эо
1 6 5
С *:. а:3
3 2 2
Л, к А,
ft 5 3
At, С At,
2 2 5
*.. *32 *зз
5 6 4
а;3 *" *:5
1 1 6
*10 А" *,2
4 3 4 '
А*" А*33 **<
6 6 5
АЭ4 *35 *34
3 4 3
*46 с а;.
5 5 6
Матрицы неприводимого представления г5 с А = 0 группы [1 ] (е =
exp(2iri/3)) у Т абл.ица 2.5
Элементы Матрицы Элементы Матрицы
*,.*,,а,,л4, /1 0\ а5,а6>л7,л,, /. 0N
h9,Л|0, hn, hl2,
" ^34" ^35' ^36
^17" ^18' ^19" ^20 ^41* ^42" ^43* ^44
(o' ,°) о)
13" ^14 " ^15 " ^11
^37' ^38" ^3
Л21" Л22" Л23, й2
^45" ^46 * ^47' ^4
a D
С о')
Группа 0\ содержит 48 элементов в нулевом блоке:
{hi - h 121 h\з - Л24 . ^2s - Лзв,h*п - Лад}, (5-10)
где звездочкой отмечены элементы, содержащие нетривиальную трансляцию f =
('А И Vi), так что h* = {h.\th}. Под действием элементов (5.10) группы О
\ атомы сорта А будут переходить друт в друга; перестановки первого атома
показаны в табл. 2.4. Из нее видно, что нулевой блок стабилизатора
первого атома образуется элементами Я:
{^1^2^17^18^27^28^43^44} , (5-11)
составляющими точечную группу С4и. С помощью этой же таблицы можно
записать разложение группы Х)\ по стабилизатору, например, в следующем
виде:
0\ = H + h3H + h6H + hgH + h9H + hl0H, (5.12)
где элементы-представители h3,h6,hR,h9, hw (не входящие в стабилизатор)
переводят первый атом во все другие атомы сорта А, образующие одну
орбиту:
2 = йэ1, 3 = й91, 4 = й101, 5=й81, 6 = й61. ' (5.13)
Убедимся, что атомные смещения, показанные на рис. 2.5, описываются
базисными функциями двухмерного НП т5 с к = 0 группы 0\. Матрицы этого
представления выписаны в табл. 2.5. Пользуясь структурой группы
стабилизатора (соотношение (5.11)), легко вычислить базисные функции
представления т5. Общие формулы (5.7)-(5.9) метода стабилизатора для
случая к = 0 упрощаются:
nv = II/f0 Г1 2 х*" (Й) Sp (Л), йея0, *. (5.14)
h
Ф^ = (dkv igi) X R(gjf) (5.15)
Ф?" = 2 (dkv (й)ХД(й)), йея0. ¦ (5.16)
h
Формула (5.10) для интересующего нас представления т5 расписывается в
виде
Ф{" =(о tyx[R(hi)+R(h2) + R(h27) + R(h28)] +
+ ( *2 о*)х [Л(А17)+Л(Аю)+Л(А4з)+Л(А44)1.
Матрицы точечных преобразований R (й) выписаны в таблицах. [1], пользуясь
которыми получаем выражение
:**•-(J <si7>
определяющее компоненты базисной функции на первом атоме (мы опустили
несущественный числовой множитель 4). Теперь с помощью соотношений (5.13)
и (5.15) получим матрицы Фу" для остальных атомов ор-
37
биты и представим результат в виде
(±1 ° ° \ I . V / ООО
ф. 'о О О , ^кЛ = ( * , X ±1 о
о
ООО,' ' 1 " / V о о о,/
(5.18)
Каждый столбец матрицы "определяет двухкомпонентный набор базисной
функции данного НП. Как легко показать из формулы (5.14), пи = 1 для т5,
поэтому в рассматриваемом кристалле можно построить единственный набор
базисных функций. Взяв первый столбец в выражениях (5.18), запишем
атомные компоненты базисных функций в виде
*1.2 =( I ) х ( ± 1 0 0), )х(0±10),
"НУ
*s,6= .2 Х(0 0±1), (5.19)
при этом ненулевой столбец матриц 3 X 3 в формулах (5.18) мы стали
записывать для удобства в виде трехкомпонентной строки.
Второй набор базисных функций
*;,2=( f)x(±100), *;,4=( *2 ) X (0 ± 1 0),
>•* -('е )
*5,6= I ) X (0 0 ± 1)
(5.20)
отличается от первого общим множителем - е , поэтому он линейно зависим.
Итак, выражения (5.19) представляют базисные функции двумерного НП т5 на
векторном базисе.
Комплексный характер базисных функций (5.19) является следствием
комплексного вида матриц НП т5. Однако это представление вещественно, и
можно унитарным преобразованием
d(g)^d(g) = Ud(g)lT (5.21)
привести все матрицы его к вещественному виду. Выберем в качестве U
матрицу
-') (5 22)
тогда все матрицы из табл. 2.5 преобразуются к виду
38
Таблица 2.6 '
Базисные функции двумерного неприводимого представления т. группы Одля
кристалла А-15
1 2 3 4 5 6
•1710 (ч/Тоо) (-ч/зЪО) (О-ч/ТО) (0ч/Т0) (0 0 0) (000)
'171') (100) (-100) (010) (0-10) (00-2) (002)
Расчет с этими матрицами по формулам (5.15) и (5.16) приводит к
вещественным базисным функциям
*1,2 =(^Х & 1 °°). *3,4 =("^)х (0± 1 0),
(5.24)
*5,6=(J )х(00±1).
Результаты вычислений (5.24) базисных функций можно представить еще и в
табличном виде (табл. 2.6), указав для каждого атома трехкомпонентный
полярный вектор. Нетрудно теперь видеть, что атомные смещения, показанные
на рис. 2.5, действительно соответствуют первой базисной функции
представления т5.
Параметр порядка при структурном фазовом переходе в соединениях С-15.
Аналогичные структурные фазовые переходы происходят в некоторых
сверхструктурных соединениях со структурой С-15, а именно в Hf"V2 и ZrV2
[12]. При температурах, значительно превышающих Тс, они из кубической
фазы переходят в орторомбическую или ромбоэдрическую фазы с сохранением
элементарной ячейки. Определим возможные диссимметрич-ные фазы,
возникающие по НП с к = 0 пространственной группы О /, исходной
