Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Т0 в ряд по степеням с\ достаточно ограничиться первыми членами
разложения. Это разложение начинается с квадратичных по коэффициентам Сд
членов и может быть записано в виде
Ф = Ф0 +2 У 2(сд)2 + .. . (1.20)
v Л
Из условия минимума Ф следует, что линейные члены в этом разложении
выпадают. Структура квадратичных членов определяется тем фактом, что для
каждого неприводимого представления (НП) ГУ, по которому преобразуются
величины сд под действием элементов группы С, существует только один
инвариант второго порядка 2(Сд)2. Более высокие члены
разложения (кубические, четверные и т.д.) представляют инвариантные
полиномы соответствующего порядка, которые могут быть найдены для
заданной группы G по известным математическим рецептам.
По отношению к разложению (1.20) применимы те же рассуждения, которые мы
использовали в элементарном анализе Ландау, изложенном в начале этого
параграфа. Величины У зависят от температуры и внешних сил посредством
обобщенных термодинамических величин X. При Т> Т0 все У должны быть
положительными, чтобы равновесное значение параметров Сд было равно нулю.
Если при Т < Т0 одна из величин У становится отрицательной, энергетически
выгодно появление состояния с конечным значением с'^, т.е. возникновение
диссимметричной фазы. При изменении температуры в принципе могут
обращаться в нуль одна за другой несколько величин У, однако та
температура Т=Т0, при которой впервые обращается в нуль одна из величин
У, является температурой фазового перехода. Она определяется из уравнения
У(Т0,Х) = 0. . (1.21)
Соответствующее НП Dv называется ответственным за фазовый переход. При Г
< Т0 по крайней мере одна из набора величин {с'(}, принадлежащих
ответственному представлению, отлична от нуля, а для других НП можно
положить все Сд = 0. В этом случае разложение (1.20) для
термодинамического потенциала сводится к следующему:
Ф = Ф0 +rZn\+ ¦¦¦ , (1-22)
А
где для ответственного представления Dv мы обозначили сд через ц ли
опустили индекс этого представления. Соответственно функция плотности
(1.19) диссимметричной фазы выражается также лишь через величины т]л
¦
6р(г)= 2 т?д/л(г). (1.23)
А
Коэффициенты смешивания т?д базисных функций ответственного НП и
называются компонентами параметра порядка; число их равняется размерности
ответственного НП. Это определение является обобщением первоначально
введенного Ландау понятия параметра порядка р. Равновесное значение
компонент параметра порядка определяется из условий минимизации
разложения (1.22) по г? д и определяет функцию плотности (1.23)
диссимметричной фазы.
14
Соотношения (1.22) и (1.23) выражают гипотезу Ландау о том, что фазовый
переход должен происходить по одному НП, Может оказаться, однако, что не
один коэффициент rv в разложении (1.20) обращается в нуль при Т -Тс, а
сразу два, например для НП D1 и D2. Уравнения
г{1\Тс, 2ГС) = 0, г(2)(Гс, Хс) = 0 (1.24)
определяют не линию фазовых переходов Тс - ТС(Х), как в случае (1.21), а
точку (ТС,ХС). В окрестности этой точки в разложении (1.20)
термодинамического потенциала следует оставлять коэффициенты с\ для обоих
НП. Описанная ситуация отвечает случаю взаимодействующих параметров
порядка. Ответственными в этой ситуации являются оба НП, так что в самой
точке (Тс, Хс) фазовый переход происходит по приводимому представлению
группы симметрии системы. Размерность полного параметра порядка в точке
(Тс, Хс) возрастает. Это дополнительное вырождение может быть случайным
(как пересечение двух линий (1.24) на плоскости Т, X) или иметь
специальные симметрийные причины.
Условие Ландау для фазового перехода второго рода. Изложенная общая схема
Ландау позволяет находить все допустимые диссимметричные фазы, которые
могут возникнуть из данной фазы путем фазового перехода второго рода.
Соответствующий анализ сводится к построению разложения
термодинамического потенциала по степеням параметра порядка,
преобразующегося по некоторому НП группы G, и последующей минимизации
потенциала.
Ландау решил в общем виде вопрос о том, какие из НП исходной группы не
могут приводить к фазовому переходу второго рода [2]. Как было видно уже
из первого раздела данного параграфа, наличие кубических членов в
термодинамическом потенциале неизбежно приводит к фазовому переходу
первого рода. Следовательно, условие [1], ограничивающее список НП,
описывающих фазовый переход второго рода, состоит в требовании, чтобы НП
не допускало инвариантов третьего порядка. Поскольку величины третьего
порядка, составленные из коэффициентов с\, преобразующихся по НП Dv, сами
преобразуются как симметричный куб этого представления, условием
отсутствия инвариантов третьего порядка Является отсутствие в этом
представлении единичного представления D1 группы G. Математически
сформулированное условие можно записать в виде
[Dv* D1. (1.25)
Здесь используется стандартная символика: [Dv ] означает симметричный куб
представления Dv, а 2) - символ включения 0 - символ исключения).
