Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Т^і^^юо+^юо^ю+КюЛо+0^)' <10Л0а>
7*m% = «V+°(т^г)- (Ю.ІОб)
Здесь величины а0 произвольны, насколько это позволяет
определение собственного преобразования. Из этих уравнений следует
TnInо - т\т = о (tsW)'- (10.11)
Это значит, что можно доказать постоянство величины при несколько менее жестких условиях, чем те, которые были сформулированы в начале этого параграфа. Вместо четырех координатных условий (10.2) можно потребовать выполнения лишь трех условий (10.11). Если бы явно сформулировать эти условия (10.11) при постановке проблемы, то они показались бы довольно искусственными. Здесь же мы подошли к ним естественным путем, исследуя трансформационные свойства величины Р?р.. Тем не менее можно дать простое и более непосредственное доказательство следующей теоремы:
Е. Пусть при г-+оо
1) 1т0тК м°т (0 -^r-1 '> (10.12)
2) ТтГ„о-Л«т = о(7^г). а>0; (10ЛЗ>.
3) выражения в A0m1 дающие вклад в поверхностный интеграл, можно разложить в степенной ряд по xsjr.
При этих условиях имеем
Pr9. = const.
Ход доказательства такой же, как и в § 9, и мы дадим его здесь лишь в общих чертах. Согласно (7.13) и (7.5),
^p- = W / ¦^ °l dS-=¦- ± / A0m«m =
2 S
= f (/00+8^А00)лс. (10.14) s 10. обобщение системы координат
171
В силу (9.66) и (5.16) (0, ^-уравнение поля можно записать в виде
Y (I0m1 SS + Tttal+ Tsftl Л) ¦+ Л"* = 0. (10.15)
Отсюда вследствие координатного условия (10.13) имеем
= (lo-i6)
что тождественно уравнению (9.76).
Начиная с этого пункта, доказательство в точности совпадает с тем, которое основывалось на уравнении (9.76), и приводит к заключению, что Р?р. = 0, т. е. что Р®р, должно быть постоянной величиной. Кстати, в этом можно убедиться и значительно более простым, почти тривиальным способом. Поскольку Y0ft как решения уравнения (10.16) могут быть разложены в степенной ряд по xsj г, мы приходим к заключению, что
T0mlmft = O(^)1 а>0, (10.17)
и, следовательно, наше условие (10.13) можно записать в виде
Tm" пЭ Т0Э ! Om = О (тгтг) • (10.18)
Однако, как следует из (8.2а),
TmVo-T0310m=-2A""0'^' (10.19)
откуда очевидно, что РІр. равно нулю.
Координатные условия (10.13), как и величина Я?р., инвариантны при произвольном собственном пространственно-временном преобразовании. Мы видим также из уравнения (10.14), что Я?Р. можно представить в виде поверхностного интеграла. Он, очевидно, не зависит от системы координат внутри области, ограниченной бесконечной сферой, если только эта система реализуется путем преобразования координат, которое является собственным на сфере. Он также инвариантен по отношению к чисто пространственному преобразованию, которое при г—> со имеет вид x*k = хк-\- а*(х), где ак — величины нулевого порядка по г, поскольку при дифференцировании их порядок понижается на единицу. Таким образом, величина Я,°р., определяемая формулой (8.2а) и равная полной гравитационной массе, должна рассматриваться как энергия системы.
Однако можно показать, что P0p. не будет постоянной во всех системах координат. В самом деле, рассмотрим (в качестве 172
гл. vi. движение и. излучение
примера) простое преобразование, которое при г—>оо имеет вид
лг'О = x0 +Slog-^-. (10.20)
Здесь S — постоянная, a R— очень большой постоянный радиус сферы, по которой мы интегрируем. Непосредственное применение формулы (8.3) дает
„г о rs
Ґоо =тоо+1_+?і?_т<* (10.21а)
уш ys
T/0m = T0m _)_ ? JL.--1_ ^rns JJ_ t (10.216)
Ymn = Imn. (10.21в)
Применяя теперь эти выражения к нашему координатному условию, нужно иметь в виду, что
-Ar =-V — га\ я. (10.22) дх'? IP дх*
Тогда получим
Г'00I о» = T00I Om - ST001 оо"7Г—(уят)' (10- 23а)
YmnlOn =TmV-^mn10O "Г?"+0 (тяг)' (10"23б)
Добавочные выражения имеют порядок 1 /г1+а, и поэтому они могут изменить поверхностный интеграл при а=1. Таким образом, „гравитационное излучение", или, точнее говоря, поток энергии гравитационного излучения, может быть порождено или уничтожено путем выбора системы координат. Тем не менее, как было показано, существуют разумные системы координат, в которых „гравитационное излучение" всегда отсутствует.
§ 1 1э Излучение и метод приближений
Итак, мы показали, что путем выбора системы координат излучение можно уничтожить. Но можно также показать, что излучение может быть порождено как путем надлежащего выбора системы координат, так и путем выбора решения уравнений поля.
Метод, которым мы пользовались в этой главе, за исключением § 1, почти совсем не был связар с методом приближений. Теперь вернемся к идеям, изложенным в § 1, применяя их к ОТО. В § 1 была выяснена зависимость излучения от уравнений движения. Сейчас покажем, как оно зависит от выбора частного решения. § il излучение и метод приближении
173
Как и прежде, мы будем фиксировать нашу систему координат, требуя выполнения на бесконечности четырех добавочных условий. Очевидно, эти условия не будут типа
Ла = 0. TmIn=O, (11.1)
поскольку последние приводят как раз к отсутствию излучения. Вместо этого мы будем использовать условие де-Дондера
