Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Можно легко показать, что эти три формы эквивалентны при условии, что выполняются уравнения поля
©і» -і- SvJ** = 0 (5.4)
и J'^v имеет вид
a a aa
^ = 3:^ = 2(4^5. (5.5)
А
Сначала исследуем связь между (?2)- и (ІЙ)-формами. Уравнения движения в O-форме были получены из символического уравнения
2^ = ^ + -(^12^=0, (5.6)
а уравнения движения в (Е2)-форме— из символического уравнения
8<ГР13 + ЛВ% = 0. (5.7)
12 Зак. JA 222 154
гл. vi. движение и. излучение
Из двух последних уравнений вытекает соотношение
(5.8)
являясь тем самым следствием уравнений поля и тождеств Бианки.
Подставим теперь в уравнения движения в (?2)-форме вместо компонент Jj0a их явные выражения. Тогда будем иметь
dt
j Aam пт rfS-f- f A°*dx
А
La
А S
(5.9)
или, принимая во внимание уравнения в (2)-форме,
А
^Ш^ + тН J А*"»«
А
-Z
А
а
(5.10)
В этих уравнениях мы видим связь между величинами, характеризующими „материю" (в левой части), и величинами, характеризующими „поле" (в правой части); обе эти категории и их взаимоотношение хорошо известны со времени формулировки классической электродинамики.
Перейдем к более важной проблеме — выясним ряд следствий, вытекающих из эквивалентности (S)- и (?2)-форм уравнений движения. Запишем обе эти формы в виде одного уравнения
JAxmnmdS = — j* (А»«+8<Г°«)Лс= — f Km0'%nmdS, (5.11)
A
a
A
a
которое будет играть важную роль для дальнейшего рассмотрения. Из последнего уравнения следует
J (A0a + 8<Ґ0*) dx=f Kmi3' a?| ?nm dS + Ca, (5.12)
А
S
где С"—постоянные интегрирования. Можно, однако, показать, что вследствие уравнений поля эти постоянные должны обращаться в нуль. Действительно, уравнения поля (2.1) и (2.3) с у. = 0 дают
^Oт, v?
А I ?m :
:/Г0' V- (5-13)
Интегрируя последнее уравнение по 2, получаем
J(AOv+8<rov)rfx= J Km'^^nmdS. (5.14)
А
а s 6. три типа импульсов
155
Напомним, что величины Kma' v^ содержат только линейные по f выражения и определяются в явном виде формулой (2.2), так что мы имеем
Km0^e = j (-T0V+-TmU (5.15)
Xm0,fcpIP =-J Pm4(T00)0+ Tte1,)- T0V- TmU (5.16)
§ 6. Три типа импульсов
Учитывая явный вид Jjqiz, уравнение (5.14) можно записать в форме
.. JL fAo°dx + Ua=if«m0' V»-*5- (6.1)
А А
S S
Назовем „вектор"
А * А
(6.2)
инерциальным импульсом /4-й частицы. Этот импульс зависит от самой частицы, ее скорости и от поля в точке, которую проходит частица в данный момент. Последнее обстоятельство объясняется тем, что [а зависит от „препарированного" поля. Назовем „вектор"
JL f A0adx = коп. (6.3)
А
S
импульсом поля в окрестности А-й частицы. Он зависит от области интегрирования. Назовем „вектор"
і j Km0-^nmdS = Ptp. (6.4)
А
E
гравитационным импульсом A-R частицы и ее окрестности. Теперь уравнение (6.1) можно записать в простой форме
AAA
Prp. == PUYl. ~Ь" -^ПОЛ.- (6.5)
А
Однако следует помнить, что Я"р. определяется только поверхностными интегралами от выражений, которые линейны относительно
12* 156
гл. vi. движение и излучение
А
первых производных величин f, тогда как Рпоя. определяется объемным интегралом от нелинейной по у функции.
Желательно выяснить физический смысл этих трех импульсов хотя бы в некоторых частных случаях. Для этого нам придется сослаться на некоторые результаты, полученные ранее с помощью метода приближений.
Ограничимся случаем задачи двух тел, причем будем интересоваться лишь нулевой компонентой последнего уравнения. Обозна-1 і і
чим через у.ин, [іпол , у.гр инертную, полевую и гравитационную массы первой частицы, которые, очевидно, соответствуют ZjSh.. -Рпол. и Р%., так как I0== 1. Аналогичным образом введем соответствующие массы для второй частицы, над которыми будем писать индекс 2. Теперь для каждой из этих масс запишем
= (6.6) 2 4
где fl и [а — массы соответственно в ньютоновском и пост-ньюто-
2 4
новском приближениях. Что касается ja, то в этом приближении
2
дело обстоит просто:, инертная и гравитационная массы постоянны и равны между собой, в то время как полевая масса равна нулю. Перейдем теперь к расчету ja. Согласно формуле (3.29) гл. III,
4
имеем
L.=4 (6-7)
4 Z 2 2 2
Здесь через г12 обозначено расстояние между двумя телами. Что касается |апол , то непосредственный расчет, который мы здесь
4
опускаем, приводит к следующему результату:
n а
з _ V 2H-
4cPlsV (6.8)
AOO :
л = 1 г
Таким образом, в случае двух частиц имеем 1 _ 3 г , 3
. пол. 4
8^-пол.= 4 / "4 / VP«4<*S =
1 1
2 S
12 s 7. уравнение для гравитационного излучения 157
Отсюда и из (6.5) находим величину
Jrp. = / ^cpn* (6-10)
?
Мы видим, что и гравитационная, и полевая массы зависят от той конечной области, по которой проводится интегрирование. Равенство инертной и гравитационной масс имеет место только в ньютоновском приближении.
§ 7. Уравнение для гравитационного излучения
В § 4 были получены уравнения движения, исходя из закона сохранения в дифференциальной форме
