Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Обобщение на случай большего числа измерений не представляет труда. Пусть мы имеем двумерное многообразие (х, у) и функцию f(x, у) такую, что /(х, у)—.> 0, когда je, у—>0. Мы хотим найти такую функцию 3(jc, у), чтобы
J $(х, y)dx dy = 1 (1.17)
v(o)
и
J 8(jc, у) 1/Г1 dx dy = 0. (1.18)
V(O)
Искомая функция, записанная в символической форме, имеет
вид
- /J2
S(jc, y) = a\f(x, у)\^у[хуЬ(х, у)}, (1.19)
причем, конечно, предполагается, что величина |/| такова, что интеграл (1.17) не становится тождественно равным нулю при произвольном а.
С точки зрения наших приложений наибольший интерес представляет трехмерный случай, притом, когда о, /, а следовательно, и 8 и 8 зависят только от г, где г2 = х2 + у2 + z2. Этот случай с центральной симметрией можно свести к одномерному случаю. 1. Ъ-функция
183
Для обычной трехмерной функции Дирака о (х) имеем
Jdxo(x)= 1.
Это уравнение, так же как и другие условия для S (х)-функции. могут быть удовлетворены, если положить
со
Hx)-^^o(r), J5(r)dr = i. (1.20)
о
Однако что касается о (г) и о (г), то для них мы хотим, чтобы, кроме тех же нормировочных условий (1.20), выполнялись также уравнения
oo ^ со ^
f-^-ar= О и f IJfLdr=^atp. (1.21)
о о
Поэтому если мы определим
S(x)-> 2^rt(r), (1.22)
то, как легко видеть,
fdx% = 0, Г JxIOg. = а, (1.23)
J IX |р J I Xlp "
Эти 8- или о-функции как ядра интегрального оператора ведут себя по отношению к непрерывным функциям точно так же, как обычные о-функции Дирака. Кроме того, они позволяют придать определенные значения интегралам от произведений этих 8- или
о-функций с такими функциями, которые при х->0 обращаются в бесконечность. С нашей точки зрения, это наиболее важно для S-функций. Мы будем предполагать, что они выбираются таким образом, что в каждом конкретном случае интегралы от этих 8-функ-ций, умноженных на функции, обращающиеся в бесконечность при X = 0, равны нулю. Выбираемые таким образом 8-функции мы будем называть „хорошими" 8-функциями. Применение этих функций эквивалентно процедуре регуляризации, которая, таким образом, уже содержится в используемом нами математическом аппарате.
Иногда нам требуются „хорошие" трехмерные 8-функции, которые удовлетворяли бы нашему условию (1.23) не только для некоторого одного значения р, а для целой конечной серии значений р, например для р= 1, 2, 3, ..., k. Покажем, что для такой функции также можно построить реалистическую модель. 184
ПРИЛОЖЕНИЯ
Будем исходить из некоторой модели обычной о-функции Дирака, удовлетворяющей условию
5 (є; х) = є-зд(І?І), (1.24)
где A (z) такова, что
oo
Dp = AizJ dzz2- PA(z) = j*dzA(|z|)\х\~", (1.25а)
О со
причем
D0=I, йрФО (р = 1,2.....к). (1.256)
Кроме того, потребуем, чтобы A(z), определенная на интервале (0, оо), имела все производные и чтобы последние убывали при Z->со по крайней мере экспоненциально.
Практически для любой модели обычной 8-функции Дирака можно найти соответствующую, модель Д-функции, удовлетворяющей условию (1.25). Если выбранная А (.г) не обладает таким свойством, то этого можно достичь, умножая ее на zk~2 и ренормируя. Пусть, например,
__і
8(е, x) = (2ir)_V2s-3e 2 і X |гг-2 .
тогда
A(z) = (2n)-'ke-V2** не обладает свойством (1.25), но функция
A- (Z) =-1 / , -j , Z*--2е-1/22=
уже будет обладать этим свойством. В рассматриваемом случае
величины Dp имеют вид
_ o-pl2
Dn = 2
Теперь, когда мы имеем Л(?), удовлетворяющую (1.25), и, следовательно, модель обычной 8-функции Дирака, можно построить простую модель „хорошей" функции 8 (є, х). Она имеет вид
8(е, X) = fs8(s, X), (1.26)
где Тг — оператор вида
д
-да«*- <'-27> 1. Ъ-функция
185
Действительно, в этом случае мы имеем /*<«. Х)| х\-р dx^^^y f A(Z)Z2-PdZ =
оо ' О
-JL (ІЛ^-pd = I 1 ПРИ ' = °' А (1.28)
A! V os / \ О при р=1, 2,..., k.
Несколько более сложно определить функцию 8(е, х). Как и в предыдущем случае, вводим сначала 8-функцию, которая удовлетворяет (1.25). После этого определяем 8 (г, х)
I(B1X) = T1S(S1X). (1.29)
Л= О
Легко видеть, что Ts является обобщением T6 и переходит в него при Ubp = 0, р= 1,2, ..., k. Вычислим теперь интеграл
oo ^
Jdxl (8, х)1хГ'= TeS-PiK J dz Z*-P A (Z) = DpTcS-Р. (1.31)
со О
Мы знаем, что
( О при 5 > р,
?-^(-'^-' = (^)'^'=sI Slfpy-" при 5<Р.
(1.32)
Следовательно,
S = O
Мы знаем также, что
і л \ k—s [ О при S < р,
ек-Р = \ (1.34)
V де ) I (k — р)\ при S = P-
Таким образом, имеем окончательно
со
1 для р = О,
и) для р = 1,2, . . ., k.
(1-35) 186
ПРИЛОЖЕНИЯ
Имеется еще одна формальная проблема, связанная с использованием 8- или 8-функций, которую мы должны обсудить здесь. Начнем наше обсуждение с некоторого примера. Предположим, что при вычислениях, проводимых с использованием (одномерных)
8-функций, мы сталкиваемся с выражением
dx'dx"- (1-36)
oo
Выясним, чему равно такое выражение. Запишем вместо него
um сЦдЦ?1ах>ах». (1.37)
