Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Вернемся к уравнениям поля. Перепишем (2.1), полагая ji.= т.
окружающую А-ю сингулярность. Мы будем обозначать такую А
поверхность через 2. Так как тензор Эйнштейна вне сингулярности равен нулю, то в силу нашей леммы мы будем иметь
f Km0'^9nmdS-+-f A™nmdS = 0, A=I,..., N. (2.11)
Эти 4N уравнений справедливы (опять-таки вследствие нашей леммы) для произвольных поверхностей, каждая из которых охватывает только одну сингулярность. Из-за произвольности формы поверхности эти уравнения не могут дать никаких соотношений между пространственными координатами поля. Они могут дать только соотношения между координатами сингулярностей и их производными по времени. Поэтому мы, по определению, считаем эти уравнения уравнениями движения N частиц. Из них могут быть получены ньютоновские и пост-ньютоновские уравнения движения. Это можно сделать с помощью „нового" метода приближений, однако применять этот метод гораздо сложнее, чем тот, которым мы пользуемся в настоящей книге.
В самом деле, чтобы рассчитать при помощи этого метода пост-ньютоновские уравнения движения, нужно было бы вычислить 700, i0m, imn и i0m, а затем ещ^ ряд поверхностных интегралов!
2 3 4 5
Во всяком случае, как уже было сказано, мы будем, по определению, рассматривать (2.11) как точные уравнения движения для N частиц.
§ 3. Уравнения движения в форме объемного интеграла
Напомним теперь 4N уравнений движения для N сингулярностей, уже известные нам из гл. I,
А
А
2!
S
(3.1)
.4
2
Мы помним, что они приводят к уравнениям
.4 .4
А
---N .4.4 .4
A= 1,____N. (3.2) § 3. уравн. движения в форме объемного интеграла 15j
Переход от уравнения (3.1) к уравнению (3.2) тесно связан с выражением , которое берем в виде
" А А
21" = 2 ^vg. (3.3)
.4 = 1
причем
A Aa А
= Pix Sv. (3.4)
Можно показать, что достаточно предгіоложить (3.3), ибо тогда А
конкретный вид определяемый формулой (3.4), вытекает как следствие из уравнений поля. Иными словами, для полной конкретизации вида тензора энергии-импульса оказывается достаточным предположить, что он линейно зависит от 5-функций. Для доказательства будем исходить из соотношения
|*Є2аі3;рй?х = 0, (3.5)
А 2
которое следует из тождеств Бианки. В этой формуле O — произ-
A
вольная функция, непрерывная на мировой линии ?. В силу (3.3) соотношение (3.5) можно записать в виде
А
Je(^S);(jrfx = 0. (3.6)
А
й
Отсюда вытекает равенство
Х*ё + Ла3е|Э = 0. (3.7)
Рассчитаем величину Aa^. Так как
.4 A А
8|0 — — j ^s' (3.8)
то мы получим
¦ ^6^ = (-^ + ^)0,, = 0; (3.9)
поскольку Su = 1, последнее уравнение можно записать в виде
^6^ = (-^ + ^)6,3 = 0. (3.10)
Вследствие произвольности в,э отсюда следует
^ = (-^+^) = 0. (злі) 152
гл. vi. движение и. излучение
Полагая а = О, имеем
^fW00Sf. (3.12)
Из последних двух уравнений наводим
^ = ZwSeSp = (3.13)
что и требовалось доказать. Очевидно, Aa = 0 дает уравнения движения, а именно уравнения (3.2).
§ 4. Уравнения движения в форме объемного и поверхностного интегралов
В этом параграфе будет дано третье и последнее определение уравнений движения.
Напомним, что первое определение основывалось на интегралах, взятых по двумерным поверхностям, окружающим одну сингулярность. В основе второго определения лежали объемные интегралы, взятые по окрестности одной из сингулярностей. В формулировке, которую мы дадим сейчас, будут фигурировать как поверхностный, так и объемный интегралы.
Снова будем исходить из уравнения
0^ + 81^ = 0, (4.1)
где .
= + (4.2)
Вследствие антисимметрии величины К'ш' v^ по индексам v, ? имеем + 8*^)) ,== (A^+8^^,, = 0. ' (4.3)
В этой формуле величина Aliv, которая содержит только нели^ нейные по у выражения, очевидно, не является тензором. Обычно такое уравнение рассматривают как выражение закона сохранения, включая плотность А1"1 псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля. Однако в настоящий момент мы пренебрежем возможностью такой интерпретации и используем последнее уравнение, чтобы с его помощью сформулировать уравнения движения.
А
Для этой цели мы проинтегрируем его по Q. Преобразуя интеграл
А
от пространственной дивергенции в поверхностный интеграл по ?, получаем
/Л'ЧЙ=-^ (4.4)
А А
S 2 ff s. следствия из различных форм уравнении движения 153
Мы снова имеем 4JV дифференциальных уравнения, которые определим как уравнения движения N частиц. Отсутствие в левой части этих уравнений тензора энергии-импульса объясняется тем,
А
что он обращается в нуль на поверхности Ъ.
§ 5. Следствия из различных форм уравнений движения
Мы представили уравнения движения в трех различных формах.
1) в (?)-форме, согласно (2.11),
- / Kmsi-v?, dS = / Ат"пт dS; (5.1)
А А
S S
2) в (Й)-форме, согласно (3.1) и (3.2),
fZ*?;?dx = 0, ' (5.2а)
.4 S
А
„Л « '
d dt
+ = (5.26)
3) в (Бй)-форме, согласно (4.4),
JVffl nm dS = — J (A*-j- 8^)dx. (5.3)
А А
s а
