Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
є->0 J Iх —xI
со
Но это выражение имеет вполне определенный смысл и, согласно аксиоме 1е, оно равно
оо ^ оо Л
.? f TF? = Iffidx"- VW
-OO -OO
Но это выражение равно нулю при надлежащим образом выбранной 8. Мы видим также, что этот результат не зависит от того, какую из 8-функций в (1.36), 8(лг') или 8(лг"), представим в виде протяженной функции. Это объясняется тем, что в функцию IXf — л;"!"1 переменные х' и х" входят симметрично.
Эту теорему можно, очевидно, обобщить на случай интеграла от произведения произвольного числа одномерных 8-функций. Интеграл будет вполне определенным, если одну из 8 оставить в виде 8-функции, а остальные представить в виде протяженных 8 (г, л)-функций с одним и тем же е. Таким образом, имеет место следующая теорема:
/ / (.X1.....*„) 8 (X1) . . . 8 (Xn) dxx .. . dxn = /(0, . . ., 0),
(1.39)
если /(0, ..., 0) конечна, и этот интеграл равен нулю, если /(О, ..., 0) = оо и если 8 могут быть выбраны и действительно выбраны так, что J*8(Arft)/(0, .... хк, ..., О)dxk равен нулю
со
при всех k. Дальнейшее обобщение этой процедуры, например на случай 2 X 3-мерного пространства, является тривиальным. Сформулированное здесь правило позволит нам избежать всех бесконечных выражений, появляющихся в наших вычислениях.2. поле на мировых линиях
187
Понятия „точгчных масс", „точечных зарядов"—это, конечно, фиктивные понятия, которые вводятся в теорию, чтобы простым образом описать сложную физическую реальность. Именно эти понятия адекватно описываются 3-функцией Дирака.
С другой стороны, если мы имеем дело с непрерывным распределением плотности, сконцентрированной, скажем, в окрестности точки х0, то в этом случае объемные интегралы от произведений р на Ix — X0Pp, вообще говоря, будут существовать и иметь определенные значения. Это во всяком случае очевидно, если р (х0)=?0 и р < 3. Значения таких интегралов, соответствующие нашим величинам (ор, характеризуют в известной мере непрерывную структуру функции плотности.
Наши же 8 стягивают такое непрерывное распределение в точку таким образом, что в наших расчетах остаются в форме величин шр основные черты внутренней структуры „точечных масс" или „точечных зарядов". Однако их всегда можно устранить при помощи процесса ренормировки. Таким образом, всегда удобнее
использовать не 8 и не 8, а наши 8, так как тем самым мы избегаем и бесконечностей и ренормировочной процедуры.
Итак, в этой книге мы проводим удобный метод рассмотрения, т. е. используем 8-функиии, соответствующие выбору (J)p = O. Все 8-функции, встречающиеся в тексте, являются „хорошими" 8-функциями, обозначенными в этом параграфе через 8, если не оговорено противное.
2. ПОЛЕ НА МИРОВЫХ ЛИНИЯХ
Решения уравнений поля, с которыми мы встречаемся в настоящей книге, являются функциями мировых точек jca = (jc°, Xk), но, кроме того, они находятся в функциональной зависимости от координат сингулярностей.
Предположим, что имеется N сингулярностей, движение которых задано в параметрической форме при помощи уравнений
A AA
Ea=^a(X). Здесь индекс А означает номер сингулярности (так что Л = 1,2, ..., Af). Суммирование по А следует производить
л
лишь при наличии символа суммирования. Через X обозначен инвариантный параметр А-й мировой линии. Таким образом, если обозначить через / какую-либо компоненту поля, то
\ 2 N
/=Z(Xa)U. ї.....S].188
ПРИЛОЖЕНИЯ
где квадратная скобка использована для обозначения функциональной зависимости.
Рассмотрим теперь уравнение
А А х° = ?0 (X)
л
и предположим, что оно однозначно определяет X как функцию jc°: А А
Х='К(х°). Тогда уравнения А-й мировой линии, используя в качестве параметра je0, можно записать в виде А А
la=la(x°), а= 1,2,3, A= 1, 2, . . ., N.
Эти функции, если они аналитичны по х°, полностью определяются своими значениями и значениями всех своих производных в некоторой произвольной точке. Следовательно, функциональная зависимость может быть заменена обычной зависимостью от бесконечного числа аргументов, а именно от всех про-
A А
ИЗВОДНЫХ B некоторый момент времени JC0. Это JC0 можно выбрать так, чтобы оно было одинаковым для всех частиц и совпадало с je0, фигурирующим в /(JC0, хк). Таким образом, / из (2.1) можно записать в виде
/ = /(*0. Jса,Іа(х°), Іа(х°) ,о. ta(x°)|oo, - . .). (2.2)
Вследствие используемого метода приближений в практических приложениях в выражениях такого типа будут фигурировать производные по времени только первого и второго порядка.
Функция / может (и, как правило, будет) иметь сингулярность на А-й мировой линии. Однако, несмотря на это обстоятельство, значению / на А-й мировой линии можно придать определенный смысл. Для этого мы используем наши „хорошие" 8-функции. Определим / вдоль мировой линии А, обозначая эту величину А
через /, при помощи уравнения
/ = J dx8(x—'5(*0))/(X0, x)[L I . . ., ?]. (2.3)
Почти не теряя общности, ограничимся случаем, когда имеется только одна мировая линия, и не будем писать „1" над знаком „—".