Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
(<^v+^rAliv)|v = °- (7Л)
Используем теперь это же уравнение, из которого были получены уравнения движения в (2?2)-форме, для определения гравитационного излучения. Единственное отличие от постановки проблемы в § 4 состоит здесь в том, что теперь мы должны интегрировать не по окрестности А-й сингулярности, а по всему пространству, которое мы обозначим через 2. Бесконечную сферическую поверхность, окружающую пространство 2, будем обозначать через 2. Внутри этой поверхности находятся частицы, движущиеся согласно законам движения, которые выводятся из уравнений поля и сформулированы нами в трех последних параграфах. Мы предполагаем, что частицы никогда не достигают поверхности 2. Итак, интегрируя (7.1) по всему пространству, получаем
f AlimZtm dS = — f (Л'ш + dx. (7.2)
E S
Левую часть этого уравнения
fA»mnmdS (7.3)
будем рассматривать, по определению, как поток гравитационного излучения. Таким образом, уравнение (7.2), при помощи которого мы определили гравитационное излучение, тесно связано с уравнениями движения. Единственное различие между (7.2) и уравнениями движения состоит в области интегрирования: 2 и 2 вместо
А А
2 и 2. Уравнение (7.2) является (22)-формой закона сохранения 158
гл. vi. движение и. излучение
соответственно тому, как ранее (5.3) было (Е2)-формой уравнений движения.
Подобно тому, как это делалось ранее для уравнений движения, можно записать законы сохранения в (Е)-форме
J AiunIim dS = — J kM]?nmdS. (7.4)
а а
Объединяя (7.2) и (7.4), имеем
f A»mnmdS = — f + — f km0'^nmdS, (7.5)
as a
откуда, как и в гл. VI, § 5, следует
J (A<V4-8^) dx= Jvcra0' v"\?nmdS. (7.6)
2 a
Наконец, закон сохранения можно также записать в (2)-форме
= i JrVx= V [± (^)+(^} =0. (7.7)
2 a = ia a= 1
S
Все эти уравнения являются следствием уравнений движения, которые в свою очередь вытекают из уравнений поля.
Мы знаем, что законы сохранения в (?)-форме (7.4) не зависят от формы поверхности, если эта поверхность не проходит через сингулярности. Поэтому можно построить такую двумерную поверхность которая заключает в себе все сингулярности, причем каждую сингулярность окружает малая сфера, а эти сферы соединены друг с другом очень тонкими трубками. Так как поток через тонкие трубки равен нулю, то (7.4) запишется в виде
N
J (Aixm + Km0, nmdS = % J (Alim + Km0' ¦%) пт dS = 0. (7.8)
a A=I А
S
Аналогично, используя (Ей)-форму, можно написать
N IV
? j M^nmOS = -Yi J(A^0+8 «j**) dx. (7.9)
a^ 1 a a = 1 а
а а
Однако, вообще говоря,
N
Yi J AlimZim dS ф j А*тпт dS. (7.10) § 7. уравнение для гравитационного излучения 159
В качестве определения гравитационного излучения мы рассматриваем именно правую, а не левую часть этого неравенства. Это определение не совпадает в точности , с обычным, так как Alim содержит также производные второго порядка. Однако нам представляется более последовательным использовать именно такое определение гравитационного излучения, тесно связанное с уравнениями движения.
Как и прежде, определим: полный инерциальный импульс
NAa
Яанн. = f Z^dx= 2 1*1«.
2 a = 1
полный импульс ПОЛЯ
Кох. =f л?* dx
S
и полный гравитационный импульс
(7.13)
Как и прежде, соотношение (7.6) можно записать в виде
Р%. = К».+КоЯ, (7.14)
Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, с которой постоянно приходится иметь дело в электродинамике. Величины, относящиеся к мировой линии, как в случае Рин.. оказываются связанными с величинами, характеризующими поле, которыми являются Япол. и
Полезно сопоставить представленную здесь ситуацию для гравитационного поля с аналогичной ситуацией для электромагнитного поля в специальной теории относительности, где мы имеем дело с тензором энергии-импульса электромагнитного поля Eудовлетворяющим закону сохранения = Интегрируя это уравнение по всему пространству, получаем
f EamnmdS = — faa0dx. (7.15)
а а
Правую часть этого равенства обычно рассматривают как (взятую со знаком минус і производную по времени полного импульса поля. В случае электромагнитного поля—это единственный импульс, который фигурирует в законе сохранения. Если левая часть, которая представляет поток электромагнитного излучения, равна нулю, то мы заключаем, что импульс поля является постоянным вектором.
(7.11)
(7.12) 160
гл. vi. движение и. излучение
В случае гравитационного поля дело обстоит иначе. Поток гравитационного излучения равен производной по времени (взятой со знаком минус) от суммы двух импульсов: импульса гравитационного поля и импульса инертной материи. В том случае, когда поток гравитационного излучения равен нулю, остается постоянной именно сумма этих двух импульсов. Эту сумму мы называем гравитационным импульсом; она равна поверхностному интегралу от выражения, представляющего собой линейную комбинацию производных величин Y-
Чтобы проиллюстрировать различие между этими полными импульсами трех типов, снова обратимся к примеру, приведенному в конце предыдущего параграфа, а именно к задаче о двух частицах и их полных массах, вычисленных в ньютоновском и пост-ньютоновском приближениях. Как и прежде, в ньютоновском приближении будем иметь
