Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Q~h(f)uA.
(7.5.5)
где
I h |<Л4.
(7.5.6)
Тогда мы без труда получаем неравенство
Аналогичным образом доказывается оценка
. . . (mk-(т - 1))и
(m+1) k-m
(7.5.9)
"
Гт\и{т+Х)к~т,
(7.5.10)
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
245
увеличению остаточного члена. В строго математическом смысле мы имеем
дело не со сходящимся, а с асимптотическим рядом. Как хорошо известно из
многочисленных приложений в физике и других областях науки,
асимптотические разложения нередко оказываются весьма полезными.
В рассматриваемом нами случае это означает, что достаточно малые и дают
очень хорошее приближение. Высокая точность достигается в том случае,
если мы ограничимся несколькими первыми членами, но при слишком больших т
учет старших членов приводит к ухудшению результата.
В заключение кратко обсудим свойства дифференцируемости вектор-функции s
(и, ф, t) по переменным и и ф. Как уже упоминалось, выбрав величину б в
(7.4.1) достаточно малой, мы можем аппроксимировать s сколь угодно точно
степенными рядами по и с коэффициентами, зависящими от ф (и /). Если
правые части уравнений (7.2.19) - (7.2.21) - многочлены (и аналитичны) по
и и аналитичны по ф в некоторой области, то любая конечная аппроксимация
Sln) (7.4.1) величины s обладает теми же свойствами (аналитичности). Из-
за свойств остаточного члена, о которых говорилось выше, с увеличением
числа дифференцирований д/д<р/, д/диь остаточный член, содержащий
производную высокого порядка, может все более возрастать, а область
значений и, в которой справедливо рассматриваемое приближение, все более
сужаться, обращаясь иногда в пустое множество. Такого рода трудности
обычно преодолевают, вводя так называемое сглаживание. Следуя этой
традиции, рассмотрим s(n> (остаточный член для простоты отбросим) как
"сглаженную" аппроксимацию многообразия s (и, ф, /). Тогда s(n) обладает
всеми перечисленными выше свойствами дифференцируемости (или
аналитичности). В дальнейшем, если нет специальных оговорок, мы будем
понимать под s<ra) сглаженную аппроксимацию.
7.6. Принцип подчинения для дискретных отображений с шумом
Во введении было показано, что при описании сложных систем мы можем
использовать не только дифференциальные уравнения, но и отображения для
моментов времени, образующих дискретную последовательность. Исследование
таких отображений обретает все большее значение для современной
математики и теоретической физики. В этом разделе мы хотим показать, как
принцип подчинения можно обобщить на случай дискретных отображений. Затем
с помощью соответствующего предельного перехода мы распространим принцип
подчинения на стохастические дифференциальные уравнения (разд. 7.9).
246
Глава 7
Рассмотрим динамическую систему, описываемую вектором состояния Яг,
который задан в дискретной последовательности равноотстоящих временных
точек I. Эволюция системы - переход из одной дискретной временной точки I
в следующую точку / + 1 - описывается уравнением, имеющим в общем случае
вид
Ч;+1 = *(Чь l) + G(qh I) x\i, (7.6.1)
где f и G ¦- нелинейные функции вектора состояния q/, которые
могут зависеть явно от индекса /, r\i - случайный вектор,
распре-
деление вероятности которого может (но не обязательно должно) зависеть от
индекса /. Во многих случаях, представляющих физический интерес, it -
величина порядка О (яг), т. е.
|ЦЯг)| = 0(яг). (7.6.2)
При рассмотрении дифференциальных уравнений нами было показано, что в тех
точках, где система теряет устойчивость, становится выполнимым
преобразование от исходных переменных к новым коллективным модам, которые
можно разделить на незатухающие, или неустойчивые, моды и и на
затухающие, или подчиненные моды s.
Предположим, что аналогичное преобразование осуществимо и для дискретных
отображений. Чтобы продемонстрировать наиболее существенные особенности,
отбросим фазовые переменные <р. Запишем уравнения, аналогичные уравнениям
(7.2.1), (7.2.2) в следующем виде (через dl мы обозначили конечный
интервал времени):
ni+i~u; = Auu,d/ + dQ(u, s, /), (7.6.3)
s;+1 -s; = Ass^/ + rfP (u, s, /). (7.6.4)
Матрица As по предположению приведена к жордановой нормаль-
ной форме с отрицательными диагональными элементами. Для простоты мы
будем считать также, что матрица Л" диагональна и имеет малость 6, хотя
используемый нами метод без труда обобщается на матрицы Л" более общего
вида.
Заметим, что dQ, dP могут содержать и и s с запаздыванием
по времени /, т. е. могут быть функциями от щ, U/_i, . . . и S;,
.... Как станет ясно из наших результатов, dQ и dP могут содержать и и s
с опережением по времени /, т. е. могут зависеть, например, от щ+1. Наша
цель состоит в разработке метода, позволяющего выразить s единственным и
однозначно определенным образом только через и и /. Предположим, что
такой метод найден. Это позволит вывести ряд формальных соотношений,
которые понадобятся нам в дальнейшем.
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
247
7.7. Формальные соотношения
