Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
например, функция Р представима в виде
Р (u, s, ф, t) = Asuu : и : и + 2Asas: и : s + Asss: s : s +
+ Bsuuu •
U . U . U -\- 3Bsuus . и . и . s -\- . . . , (7.2,11)
Обозначения, введенные в (7.2.11), имеют следующий смысл. За-
пишем Р как вектор-столбец:
= (Pj). (7.2.12)
Определим
,4suu:u:u (7.2.13)
как вектор, /-я компонента которого равна
Л UktUk,- (7.2.14)
k2
Коэффициент Ajkfa здесь может быть 2л-периодической функцией по ф и
вместе с тем непрерывной функцией времени t:
Лии = ^ии(ф, 0- (7.2.15)
Функция Q по предположению допускает разложение, аналогичное разложению
(7.2.11). Разложение функции R по предположе-
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
235
нию имеет вид
R(u, s, ф, 0 = #о(ф, О+Мф. О : и +
+ Кг (ф, О : s + Члены, аналогичные (7.2.11). (7.2.16)
Пусть R0 - величина порядка 62, a R1( R2 - величины порядка 6. С помощью
преобразований х)
и = ехр (Ли/) и, (7.2.17)
ф = о)/ + ф (7.2.18)
перейдем к новым переменным и, ф, зависящим от времени. Под
действием преобразований (7.2.17), (7.2.18) исходные уравнения
(7.2.1) - (7.2.3) переходят в уравнения
u=Auu + Q(u, s, ф, t) + Fu (t) = Q (u, s, Ф, t), (7.2.19)
s = Ass + P(u, s, ф, t) + Fs (t) = Ass + P (u, s, ф, t),
(7.2.20)
V=R(u, s, ф, 0 + F?(0 = R(u, s, ф, t). (7.2.21)
Выражения, стоящие справа от второго знака равенства в каждой
строке,- не более чем сокращенные обозначения. Что касается выражений,
стоящих между знаками равенства (в среднем столбце), то они
расшифровываются следующим образом:
Ли^Л'и, (7.2.22)
Q (и, s, ф, /) = ехр (-Ли/) Q (ехр (Ли/) и, s, (r)^ + ф, t),
(7.2.23)
Р(и, s, ф, t) = Р (ехр (АиО и, s, св^ + Ф, t), (7.2.24)
R (и, s, ф, t) = R (ехр (АиО и, s, св^ + ф, t), (7.2.25)
Fu = ехр (- Aj) Fu (ехр (Aut) и, s, Ф + "в/, /), (7.2.26)
Fs = ехр(-AsO Fs(exp (АиО и, s, ф + со/, t), (7.2.27)
Fq; = Рф (exp (л"0 U, S, ф + (r)/, t). (7.2.28)
Входящую е уравнения (7.2.19) - (7.2.21) вектор-функцию вре-
1) При умножении на матрицу ехр (ЛЩ) = ехр [("Ли-(- Л") ^ вектор
преобразуется следующим образом: диагональная матрица Ли приводит к
умножению каждой компоненты вектора на ехр (iaijt), где м,- - элемент
матрицы Ли, а матрица Ли перепутывает компоненты вектора, образуя их
линейные комбинации с коэффициентами, содержащими конечные степени t. Все
интегралы, которые встретятся нам в этой главе, существуют, так как
степени t умножаются на убывающие экспоненциальные функции от t.
236
Глава 7
мени s (t) требуется выразить через и, ср (и t). Но прежде чем^мы
приступим к выводу явных зависимостей s от и и ср, заметим следующее. Как
было показано в гл. 2, нелинейная связь между переменными может привести
к сдвигу частот, т. е. в данном случае- к изменению значений элементов
матрицы Л" в разложении (7.2.4) и частот со в уравнении (7.2.3). Чтобы
как можно раньше учесть этот эффект, полезно выполнить преобразования
(7.2.17), (7.2.18) со сдвинутыми частотами Ли, г и сос. В физике эти
частоты принято называть перенормированными частотами. Заранее они не
известны и должны быть определены самосогласованным образом в конце
вычислений, проводимых для того, чтобы найти решения и и ср. Избранный
нами подход обладает важным преимуществом: во многих практически важных
случаях первые же шаги процедуры исключения (переменной s) дают очень
хорошие результаты для переменных и, s и ср. Предоставляем читателю в
качестве самостоятельного упражнения вывести уравнения (7.2.19) -
(7.2.21) уже с перенормированными частотами и выяснить, какие
предположения относительно малости разностей со - со, иЛи-Л", г
необходимо принять для того, чтобы новые функции Р, Q, R удовлетворяли
первоначальным требованиям малости. Настоятельно рекомендуем читателю в
последующих главах повторять все начальные выкладки, используя уравнения
(7.2.19) - (7.2.21) с перенормированными частотами. Мы же при изложении
метода будем исходить из первоначальных уравнений (7.2.19) - (7.2.21).
7.3. Формальные соотношения
Как показано на примере в разд. 7.1, s можно выразить через и при том же
t. Предположим теперь, что аналогичное соотношение с надлежащими
обобщениями можно получить и в общем случае, т. е. для уравнений (7.2,19)
- (7.2.21). Итак, предположим, что переменную s можно выразить через и и
ср и что она кроме того явно зависит от t:
s = s(u (0, <р(9, *). (7.3.1)
Позднее мы покажем, что соотношение (7.3.1) действительно удается
построить, а пока предположим, что оно выполняется. Это предположение
позволит нам вывести ряд важных соотношений (причем не приближенных, а
точных). Так как s зависит от t, во-первых, через и и ср и, во-вторых,
непосредственно, при дифференцировании (7.3.1) по t мы получаем
d д . ' ди ' ds /т о оч
-s = s-f-u (-ср , (7.3.2)
dt dt ds d ф
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
237
где
ds
du
Vusi
VUS2
(7.3.3)
V"sn
и аналогичным образом надлежит понимать обозначение ds/dtp.
Из уравнения (7.2.20) следует, что производная ds/dt, стоящая в левой
части соотношения (7.3.2), равна
