Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
= Q(u, s(u))-?~ (7.1.26)
ди
С?).
(правая часть равенства служит определением обозначения, вводимого в
левой части равенства). Ясно, что если ряд (7.1.25) рассматривать как
формальную геометрическую прогрессию относительно оператора (7.1.26), то,
"суммируя" ее, мы получаем
s (0 = -------5------Р, (7-1.27)
" МШ.)
или в исходных обозначениях
s{l)=Jr~, h-(7'*'28)
р (,+Q-i-ц
V ди Р )
Умножая обе стороны равенства (7.1.28) слева на оператор
(1+<3^гт)' (7'''29)
приходим к равенству
(p + Q-^r)s=P(w, S), (7.1.30)
которое после очевидных преобразований приводится к виду
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
229
Наконец, подставляя явный вид функций Р и Q, запишем соотношение (7.1.31)
в виде
ds и2 - ps
ди
(7.1.32)
Итак, мы получили для s (и) обыкновенное дифференциальное уравнение
первого порядка.
В следующем разделе мы покажем, каким образом можно существенно обобщить
все эти соотношения и получить уравнения гораздо более общего вида, чем
(7.1.1), (7.1.2). В практических приложениях возникает необходимость
суммировать такие ряды, как
(7.1.25), но, разумеется, бесконечный ряд мы будем аппроксимировать его
конечным отрезком. Используя конечную аппроксимацию, мы заодно обходим
различного рода трудности, возникающие при попытке доказать сходимость
формальных рядов типа (7.1.25).
В практических задачах нередко бывает необходимо оценить остаточный член
ряда. Чтобы получить такую оценку, разобьем бесконечный ряд (7.1.25)
следующим образом:
tn
5(')=_г1(_<г^гт)"р("' s)+
п = О оо
+f Z (7Л-33)
п=т-Ь 1
Суммируя остаточный член
оо
Р (". * ("". (!¦' -34)
п=0
получаем
1 1 f п д I Лт+*
г =
(-"^тГр' (7Л-35)
(1 + Q ---
V ди $ J
Оценить остаточный член нетрудно, выбрав его в форме (7.1.35) или в
эквивалентной форме
(Р+е^г)^(~<3^гтГр' (7Л-36)
Член Q приводит к появлению степеней не ниже, чем и3, в то время как
дифференцирование понижает порядок на единицу. Следовательно, каждая
скобка, стоящая перед Р в правой части равенства
(7.1.36), приводит к появлению множителя и2 в нашем конкретном
230
Глава 7
примере. Вместе с множителем и2 возникает и соответствующая степень
величины 1/р. Это означает, что остаточный член становится малым, если
величина и2!р много меньше единицы. С другой стороны, из-за повторных
дифференцирований, входящих в формулы (7.1.35) и (7.1.36), число членов
возрастает, как ml. Следовательно, при выборе остаточного члена
необходимо следить за тем, чтобы число т не было слишком большим, или,
иначе говоря, при заданном т величина и должна быть достаточно малой.
Такая процедура несколько отличается от более традиционных критериев
сходимости, но свидетельствует о том, что, выбрав величину и достаточно
малой, мы можем выразить s через и сколь угодно точно.
Вернемся снова к нашему примеру (7.1.32). Покажем, что, исходя из
уравнения (7.1.32), s можно явно выразить через и. Потребуем, чтобы
правая часть уравнения (7.1.32), которое мы выпишем еще раз:
= , (7.1.37)
ди - us
оставалась регулярной при одновременном выполнении предель ных переходов
s-> 0 и и-*- 0. Решение уравнения (7.1.37) будем искать в виде
s = иЛ[С1 + Ш]. (7.1.38)
Подставляя (7.1.38) в уравнение (7.1.37), получаем
2и (Cl + h) + u2f\ = ¦¦¦"*-P"a (Cl+/l) ¦ (7.1.39)
- UU (Ci + h)
Так как правая часть должна оставаться регулярной, необходимо положить
П = (7.1.40)
Р
после чего правая часть тождества (7.1.39) перейдет в
------------------------------------ (7.1.41)
- И3 (С! + fi)
Для того чтобы s -0 при и ->- 0, функцию fx следует выбрать в виде
/i = "2(c2 + /2), (7.1.42)
тогда
+ 2и\ + 2и% + и22и (с2 + /2) + и% == "(Cgt/?)P" •
2 и
Р ' '* ' ' " " 1 /Р + и"(с2 + Ы
(7.1.43)
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
231
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и в правой и левой частях
тождества (7.1.43), мы обнаруживаем, что
с2=^-. (7.1.44)
Р
Итак, мы приходим к разложению
s= + + ... , (7.1.45)
Р Р3
которое согласуется с ранее полученным нами разложением (7.1.19).
Исходя из уравнений (7.1.1), (7.1.2) (включающих в себя рассмотренный
нами случай а = 0), мы можем прийти к уравнению
(7.1.37) гораздо проще, а именно записав уравнения (7.1.1), (7.1.2) в
виде
lim ( А" Л = и = аи-us, (7.1.46)
Д*-й)\ As J
lim = -Ps + u2. (7.1.47)
д^<Л. At )
Левую часть уравнения (7.1.46) мы можем разделить на левую часть
уравнения (7.1.47), а правую часть - на правую. Величина At при этом
сократится, и мы получим уравнение
-*- = fr+-g- (7.1.48)
du а и - us
Это - хорошо известное уравнение из теории автономных дифференциальных
уравнений на плоскости [1]. Предлагаемый нами метод разложения в ряд
может показаться излишне громоздким, но стоит лишь нам столкнуться с
проблемами обобщения уравнения
(7.1.48) на случай неавтономных дифференциальных уравнений с большим
числом переменных, как полезность нашего метода станет очевидной:
довольно быстро выясняется, что других методов, кроме намеченного нами
выше, практически не существует.
