Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
только при тех предыдущих значениях I, которые первоначально содержались
в h (щ, ui_u . . .). Тем самым мы вместо бесконечной получаем лишь
конечную регрессию. Сравнивая тождество (7.7.26) с соотношением (7.7.29),
мы приходим к следующему определению оператора [ . . . ]-1:
[A<(>(l+Asdf)-Asd/]-'dP (u;, u,_v . . . , /) =
i
= Z (l+Asdm)'-mdP(u/, u;_,, . . . , m). (7.7.31)
m=-oo
Векторы U;, u;_j и т. д. в правой части фиксированы, суммирование
производится только по т. Тождество (7.7.26) (с пояснением
(7.7.27)) допускает итерацию:
(A_(l+Asd/)- Asd/)-1 = {A(i>(l+Asd/) - Asdl)~l-( . . . ),
(7.7.32)
где
оо
( . . ¦ )= Z [ • • - Г, (7-7.33)
v=0
а квадратные скобки определяются соотношением (7.7.27).
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
251
Как уже отмечалось, в практических приложениях суммирование проводится не
до бесконечности. Во многих случаях оказывается достаточно нескольких
первых членов. Ряд (7.7.33), вообще говоря, не сходится, так как
принадлежит к числу так называемых асимптотических рядов, но, коль скоро
мы ограничиваемся лишь конечной суммой, важно уметь оценивать остаточный
член. Формулу остаточного члена ряда (7.7.32) нетрудно вывести из
соотношения
оо ОО
I. . Z I • • .]" = (. • • Г' Z I. ¦ .П. ¦ • г+' =
v=n + l v=0
= { . . . • • ГМ • • • Г+1 • (7-7.34)
Более подробный анализ остаточного члена вынудил бы нас входить в
многочисленные математические детали и увел бы нас далеко в сторону от
основной темы, поэтому мы опустим все детали.
Оператор [...], содержащий А^, определяется соотношением
(7.7.31). Что же касается оператора А-\ то его действие необходимо
пояснить более подробно. Оператор обладает следующими
свойствами.
1. Он действует только на щ, . . .
2. Для любой функции / от щ действие оператора А^ определяется
соотношением
AW/(u,)-f(u,)-/(",_,). (7.7.35)
Если функция f зависит от переменных при нескольких "временах",
то
А(_")/ ({u/}) = /({u/})-/({u/_1}), (7.7.36)
где
(иг) = (иг, Щ-х, . . . ) (7.7.37)
- набор переменных с различными индексами /.
3. Действие оператора А^} на произведение функций и и w,
как нетрудно доказать, сводится к следующему:
А(и)(и((и|})да({иг})) = да({иг}) д ^ и ((иг)) +
+ и ({!!,_,}) ДНи ({и,}). ' (7.7.38)
В дальнейшем мы будем предполагать, что функции / допустимо считать
многочленами.
4. Соотношение (7.7.36) для "многовременных" функций / представимо в
более явном виде, если воспользоваться соотношением
252
Глава 7
(7.7.38) и правилом
= "?-"?-! = Г ? (7.7.39)
Vvj+v^n-l )
Правую часть последнего равенства можно записать в виде
( ди1 \
V ~d^~)A-Ul' {7JA0)
где выражение в скобках - так называемая симметризованная производная,
совпадающая с выражением, которое заключено в круглые скобки в (7.7.39).
5. Из соотношения (7.7.39) или (7.7.40) нетрудно вывести соотношение
для функции /, зависящей только от и г.
№f(ut)= \9> df(ui) ¦А-}Щ, (7.7.41)
dui
или более общее соотношение
1-1'
A^f(ip, . . . , иц)= ? gv(ii". . , . , ur_i)
A_ur+V. (7.7.42)
v=0
Формула (7.6.3) позволяет записать A_ur+V в виде
A^)ur+v = Aad/ur+v + dQ( . • . ,/' + v - 1). (7.7.43)
Обозначив правую часть соотношения (7.7.43) через
dQ(. . ., Г + v), (7.7.44)
преобразуем (7.7.42) к окончательному виду
SWf(u,, . . ., ur) = ? gv(u,, . . . ,ur_j)dQ(. . .
,/' + v).
v=0
(7.7.45)
Для полноты выведем формулу для
Л<-"> ? "?+.+, ¦ ¦ • "Ь-г Р-7-46)
v0+. . .+vx=n
По определению (7.7.35) действие оператора А^ на сумму в (7.7.46)
порождает выражение
Z (<"+.+. ¦ • ¦ ¦ • • "j). (Г7 47)
ve+ - ¦ +'¦¦,="
которое преобразуется к виду
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
253
Разность в скобках можно записать как
У {^т+к+1 ит)'
v"- 1-
(7.7.49)
Следовательно, выражение (7.7.46) представимо в виде
Щ+К +1 ит)' (7.7.50)
vo+ ¦ ¦ ¦ +vx+l=n-1
где разность в скобках можно записать как
к
У Д_пт_)-i+v.
v=0
(7.7.51)
Сумму в (7.7.50), стоящую перед круглыми скобками, можно рассматривать
как симметризованную производную, а разность в скобках выразить через
разности щ+1- ut.
7.8. Итерационный метод для дискретного случая*
Собирая вместе все выведенные выше формулы, мы получаем четкий алгоритм
для представления s как функции от и и I, если dP - функция только от и и
/. Однако в практических приложениях dP зависит еще и от s.
Следовательно, необходимо разработать метод, позволяющий путем
неоднократного повторения однообразных ходов индуктивно выражать s через
и и I.
Введем для этого параметр малости 6. В общем случае dQ. и dP содержат
нестохастическую и стохастическую части:
где стохастическая часть по предположению допускает разложение
Будем считать также, что Ли в (7.6.3) имеет порядок 6 и что функции,
входящие в разложения (7.8.1) и (7.8.2), представимы в виде многочленов
по и и s с коэффициентами, зависящими от I. Эти коэффициенты - либо
непрерывные функции (входящие в Q0 и Р0), либо величины, описывающие
винеровский процесс (в dF0 (/)), задаваемый соотношениями (4.2.2),
(4.2.3). По предположению, постоянные члены, не зависящие от и и s, имеют
