Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
В следующем разделе мы обобщим изложенный нами метод в нескольких
отношениях. В практических приложениях иногда встречаются уравнения с
управляющим параметром а, отличным от нуля, поэтому представляется
желательным рассмотреть уравнения вида
и = аи-us. (7.1.49)
Уравнения могут иметь и более сложную структуру, например уравнения для
исключаемых переменных могут иметь вид
s = - ps + и2 + us +
(7.1.50)
232
Глава 7
Правая часть таких уравнений может иметь еще более сложный вид, например
содержать многочлены по и и s. Кроме того, встречаются в приложениях и
неавтономные уравнения, т. е. уравнения с коэффициентами, явно зависящими
от времени t:
s=- ps+a(0w2. (7.1.51)
Во многих случаях приходится рассматривать системы дифференциальных
уравнений относительно нескольких переменных whs.
Существуют и другие типы уравнений, также подлежащие анализу, например
уравнения
Ф = со -|- Ф (w, s, ф), (7.1.52)
где Ф-функция, периодическая по ф. В приложениях встречаются уравнения
вида (7.1.52), содержащие несколько переменных ф. Наконец, немаловажную
роль играют стохастические дифференциальные уравнения
s== - Ps + w2 + Ks (0, (7.1.53)
где Fs (t) - случайная вынуждающая сила. Включение ее делает уравнения
неоднородными. Дополнительные трудности возникают в том случае, если
функция Fs (t) разрывна. Еще большие трудности приходится преодолевать,
если случайная вынуждающая сила зависит от переменных s и и. Чтобы не
перегружать изложение, разобьем его на две части: сначала рассмотрим
флуктуирующие силы, допускающие аппроксимацию непрерывными функциями, а
затем (в разд. 7.9) перейдем к общему классу уравнений, содержащих
случайные вынуждающие силы, не поддающиеся такой аппроксимации.
7.2. Общая формулировка принципа подчинения. Основные уравнения
Рассмотрим набор зависящих от времени переменных ult и2, . . .
. .., slt s2, . .., фх, ф2, . . . , объединенных в векторы u, s, ф. Знак
тильда позволяет отличать эти переменные от аналогичных переменных,
возникающих ниже после некоторых преобразований. Смысл обозначений и и s
станет ясен из дальнейшего: и означает неустойчивую (unstable) или
незатухающую (undamped), as - устойчивую (stable) моду. Переменные ф
играют роль фазовых углов. В этом мы также убедимся из дальнейших глав.
Предположим, что переменные u, s, ф удовлетворяют следующей системе
Нелинейные уравнения, Принцип подчинения
233
обыкновенных дифференциальных уравнений *):
u= Auu + Q(u, s, ф, 0 + Fu(0. (7.2.1)
s=Ass + P(u, s, cp, t) + Fs(t), (7.2.2)
Ф = со+Й(и, s, ф, /) + Рф (/). (7.2.3)
В дальнейшем мы будем предполагать, что Ли, As - матрицы, а м - вектор,
не зависящие от времени. Нетрудно, однако, обобщить наш подход на случай,
когда все эти величины зависят от времени. Примем следующие
предположения. Введем малый параметр б и будем считать вектор и величиной
порядка б. Предположим, что матрица Ли приведена к жордановой нормальной
форме и допускает разложение вида
Ли = Ли iAu -j- Au = Au Au, (7.2.4)
где Ли, Ли - вещественные диагональные матрицы. Относительно элементов
матрицы Ли никаких предположений не делается, элементы матрицы Ли должны
быть величинами порядка б. Матрица Ли содержит недиагональные элементы
жордановой нормальной формы матрицы Ли (см. разд. 2.4.2). Матрица Л5 по
предположению также приведена к жордановой нормальной форме и допускает
разложение на вещественную (Л8) и мнимую (Л5) части:
A^K + iAl- (7.2.5)
Здесь Л5 - диагональная матрица, элементы которой могут
быть
произвольной величины. Относительно диагональных элементов у? матрицы
Л5 предполагается, что они удовлетворяют неравенствам
у; < Р<0, (7.2.6)
Q, Р, R, Fu, Fs, РФ (7.2.7)
- величины порядка б2 или ниже, a Q и Р не должны
содержать
членов, линейных по и или s (но могут содержать
произведение
u-s). Функции
Q, Р, R (7.2.8)
- 2я-периодичны по ф. Функции (7.2.7) по предположению ограничены при -
оо</< +оо и любых фиксированных значениях u, s, ф. Функции F -вынуждающие
силы. Они могут, в частности,
х) В действительности излагаемый нами формализм допускает обобщение на
уравнения с частными производными при надлежаще выбранной норме
(например, в банаховом пространстве).
234
Глава 7
описывать стохастические силы. Однако в этом разделе мы будем
предполагать, что функции F непрерывны по своим аргументам.
В следующих разделах мы рассмотрим стохастические силы, представимые в
виде
F(*)==F(u, s, <p, t) = G(u, s, ф, О'ро(0> (7.2.9)
где F0 - винеровский процесс. В этом случае с матрицей G необходимо
обращаться осторожно, поскольку в точках разрыва следует брать
соответствующие пределы функций u, s, ф, например,
G(u, s, ф, 0 = aG/+o + PG<-o. (7.2.10)
Эту проблему мы обсудим в следующих разделах, а пока предполо-
жим, что функции (7.2.9) можно рассматривать также, как функции Q, Р, R.
Хотя некоторые из приводимых ниже соотношений выполняются и в более общих
случаях, для большинства приложений достаточно предположить, что Р, Q, R
допускают разложение в степенные ряды по и, и s, это означает, что,
