Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
порядок б2, коэффициенты при линейных членах - порядок б, а величины и и
s -
dQ = Q0(u, s, l)dl + dFu(u, s, 1), dP = P0 (u, s, l)dl + dFs{u, s, I).
(7.8.1)
(7.8.2)
254
Глава 7
соответственно порядка б и б2. Чтобы разработать итерационный метод,
представим s в виде
оо
s(u,i) = ZCw(u, /), (7.8.4)
k=2
где член С(А) содержит выражения порядка, строго равного k\
C(k)~8k. (7.8.5)
Аналогичным образом введем разложения
оо
dQ=?dQw, (7.8.6)
k=2
оо
dP = ? dPik). (7.8.7)
k-2
Разобьем дальнейшие наши действия на два этапа. Применим соотношение
(7.7.32) (с пояснениями (7.7.33) и (7.7.27)) к dP, но
о и О k
удержим в правой и левой частях только по члену порядка о .
Приняв за исходное соотношение (7.7.45), определим gv~~k) как функцию
порядка, строго равного 8k~~k , a dQ(k ) - как функцию порядка, строго
равного k'. Пусть
.........",¦-,)<@*'4. ¦ .. z'+v),
k' =0 v=0
(7.8.8)
(д(и) {k) _ величина порядка б*). После этих предварительных замечаний мы
можем привести окончательную формулу:
C<fe) = {A<(>(l+Asd/)-Asd/}"' ? Д[. . . )кЛР(к-к,) ,
kL+ . . . +*r=k' ''=1
(7.8.9)
где
[. . . ]kt= - (l+Asdm) A^> (k')T(r) {A^(l+Asd/) -Asd/j. (7.8.10)
Эта формула позволяет выразить s через и и I, где и берется при данном I
и конечном числе запаздывающих временных индексов. Поясним изложенный
нами метод на частных примерах.
1. Если dQ и dP не зависят явно от времени и флуктуирующие силы
отсутствуют, то формула (7.8.9) вырождается в следующую:
C(fe> = (-Asd/} ? Д [ . . .. Ь.рГ*'* dl, (7.8.11)
fej+. . . +k~k' 1=1
где
[. . . ]*t=- (l+Asdm) A(")(ki)T(H { - Asd/}"'. (7.8.12)
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
255
2. Если I становится непрерывной переменной и флуктуирующие силы
отсутствуют, то мы можем обратиться к результатам из разд. 7.4. Для
большего удобства положим dl = т. В обозначениях разд. 7.4 сразу же
получаем
{Д_(1 4-Asd/)-V/}-W-L(-J As+0(T, (7.8.13)
(l+Asdl) = • (7.8.14)
В пределе при т 0 мы получаем
* I С7А15)
. . . -\-ky.= k i^ l
7.9. Принцип подчинения для стохастических дифференциальных уравнений *
Теперь мы уже располагаем всем необходимым для того, чтобы вывести
соответствующие соотношения для стохастических дифференциальных
уравнений. Чтобы ввести последние, рассмотрим уравнения
du = Asudt + dQ (u, s, t), (7.9.1)
ds = Assd< + dP(u, s, t). (7.9.2)
Проводимый нами анализ без труда распространяется на уравнения для ф (см.
разд. 7.2, 7.4), а также на dQ и dP, зависящие от ф, но для простоты
последующего изложения мы будем придерживаться лишь уравнений (7.9.1) и
(7.9.2).
Винеровский процесс вынуждает нас с особой осторожностью выполнять
предельный переход к непрерывной временной последовательности. Из-за
скачков при переходе к непрерывному времени, необходимо проводить четкое
различие между точно совпадающими моментами времени и моментами времени,
разделенными бесконечно малыми промежутками. Фундаментальное
регрессионное соотношение, которое нам надлежит использовать в
дальнейшем, следует из соотношения (7.7.29) и может быть представимо в
виде
| exp[As(^-T)]/i(uT, ит_й> ит_2Л> . . . )dg(x) =
-оо
t
= I exp[As(f-T)]dfc(T)A(u,, и,_л, . . . ) -
-оо
256
Глава 7
t
~ J ехР [Л8 (t т')] d_h (uT, ит_й, . . . )Х
СО
t-dt
X J ехр [Л5 (т-т')] dg (г'), (7.9.3)
-оо
где
d_/l (ut, Ux-df, . . . ) - H {UXt ^x-dti • • • )
-/i(uT_d?, ux_2dt, . . .). (7.9.4)
Рассмотрим подробно соотношения (7.9.3) и (7.9.4). Это позволит нам
"перевести" на язык стохастических дифференциальных уравнений выведенные
ранее соотношения (7.7.26) - (7.7.33).
Выясним, можно ли в первом интеграле, стоящем в правой части соотношения
(7.9.3), заменить u?_db u?_2d? и т. д. на щ.
Начнем с подстановки ut вместо ut_dt и скомпенсируем вызванные ею
изменения добавлением соответствующих двух других членов:
-t
I ехр [As (t т)] dg (т) h (ut, ut_dt, , . . .) =
со
t
= J ехр [As (t-x)] dg (x) h (ut, ut, ut_2dt, . . . ) -
-oo
t
-- I exP [As (t - x)] dg (т) [Л (u^, Ut, ut_2dt, . . .) -
CO
- h(ut, ut_dt, ut_2dt, . . . )]. (7.9.5)
Разность в правой части (7.9.5) формально можно записать в виде
dat-dth^t' ut-dt' ¦ ¦ •)• (7'9'6)
Предположим, что флуктуирующие силы допускают представление dFu(u, s, t)
= Fu> i (ii, s, 0 dwi {t) (7.9.7)
(мы будем придерживаться исчисления Ито и соглашения о суммировании по
повторяющимся дважды индексам; wt - винеровский процесс).
Наш подход легко обобщается на случай, когда Fu> ? зависит от и и s при
предыдущих значениях временного параметра и от временных интегралов по
dwj от - оо до t (см. ниже). Мы предполагаем также, что dwtdwi, сходится
по вероятности к
dwi{t)dwk(t) = dtbik. (7.9.8)
Воспользуемся правилом преобразования Ито для функции <р (и)
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
257
по которому
d9(u) = d/[A_Q04(u, s, 0 + FUi, PFUk, Р] +
L duk 2 duiduk 1 R л
FUk,mdwm. (7.9.9)
duk
Оно позволяет представить правую часть (7.9.6) равенства (7.9.5) в виде
dut-dth Ut-dt .•••) =
= (- Qok(ut-dt> st-dt, t-dt)-\-
