Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
данной тематике).
Первое возбужденное состояние соответствует безмассовой векторной частице
(с поляризацией ^ и импульсом №) и представляет собой состояние t,-b-
1/210; А) в пространстве Фока. Из вспомогательного условия, содержащего
оператор G1/2, следует, что для того, чтобы это состояние было
физическим, должно выполняться равенство - Чтобы построить вершинный
оператор, соответствующий испусканию этого состояния, рассмотрим оператор
(0) = g - гр (0) Х (°>. (4.2.54)
При fe2 = 0 этот оператор имеет размерность 7=1/2, что и требуется.
Соответствующий вершинный оператор
У, = {Gn Г,} = (g • X (0) - g • г|> (0) k • ф (0)) eik'm), (4.2.55)
как и должно быть, не зависит от г. Операторное произведение в этом
выражении хорошо определено, так как ?-6 = 0.
4.2. Квантование - старый ковариантный подход
239
Поэтому V\ имеет размерность J = 1 и удовлетворяет всем требованиям,
которым должен удовлетворять вершинный оператор, описывающий испускание
физической частицы. Калибровочная инвариантность оператора Vi может быть
продемонстрирована, если заменить на k^ и заметить, что в этом случае
члены с if выпадают и остается только полная производная.
Можно различать два типа состояний и вершин в зависимости от того, четное
или нечетное число возбуждений if они содержат. Если W является бозонным
оператором на мировой поверхности (т. е. четным по if оператором), то
коммутатор [Gr, W] приводит к фермионному вершинному оператору V, как это
получилось в (4.2.52). Если, с другой стороны, W является фермионным
оператором на мировой поверхности, то антикоммутатор {Gr, W} приводит к
бозонному оператору V, как в (4.2.55). Струнные состояния, испускание и
поглощение которых описываются фермионными вершинами V, соответствуют
состояниям из пространства Фока с четным числом возбуждений й-осдиллятора
и называются состояниями "нечетной (/-четности". Те же состояния, которые
ассоциируются с бозонными вершинами V, соответствуют состояниям
пространства Фока с нечетным числом возбуждений 6-осциллятора и
называются состояниями "четной G-четности". (Эти названия произошли из
адронной интерпретации теории.) Мы покажем в гл. 7, что для бозонных
древесных диаграмм число G является мультипликативно сохраняющимся
квантовым числом. Там же будет показано, что данное описание состояний с
помощью пространства Фока (называемое F2) можно заменить другим описанием
(называемым Fi), при котором соответствие между G-четностью и числом
возбуждений ^-осциллятора заменяется на более естественное.
Может показаться странным, что испускания бозонов могут быть описаны
фермионными операторами. Однако рассматриваемые операторы являются
фермионными только в смысле двумерной мировой поверхности, а не смысле D-
мерного пространства-времени. На самом деле по определенным причинам,
которые будут изложены ниже, состояния нечетной четности обязательно
приводят к противоречиям, и мы вынуждены обрезать спектр, ограничившись
только сектором с состояниями четной G-четности. Это, в частности, имеет
то преимущество, что тахион исключается из спектра.
Испускания бозонов из фермионной (R) струны могут быть описаны по
существу теми же уравнениями, которыми описываются их испускания из
бозонной (NS) струны. Различие граничных условий, которое отличает струны
R от струн NS, не может повлиять на локальный вид вершинного оператора.
240
4. Суперсимметрия мировой поверхности
От этих граничных условий зависит только, по каким модам, по-луцелым, как
в (4.2.53), или по целым в соответствии с
• оо
^(T) = -^2*-i'lT, (4.2.56)
- оо
должен разлагаться оператор 'ф(т). Конечно, в формулах, связывающих V с
W, операторы Gr бозонного сектора необходимо заменить операторами Fm
фермионного сектора. Мы увидим в гл. 7, что древесные амплитуды,
описывающие фермионную струну с множеством испущенных бозонов, могут быть
вычислены либо с помощью пропагатора Lq1 (обобщающего пропагатор Клейна -
Гордона) и вершин типа V, либо с помощью пропагатора /'V1 (обобщающего
пропагатор Дирака) и вершин типа W. Для чисто бозонных деревьев нет
аналога второго варианта, так что необходимо всегда пользоваться
частицами типа V-
4.3. Квантование в калибровке светового конуса
Здесь мы хотим повторить для суперструн тот анализ, который был проделан
в разд. 2.3 для бозонных струн. Сначала мы проквантуем теорию в
калибровке светого конуса, в которой явно отсутствуют духи (но которая не
является явно ковариант-ной), и покажем, что теория лоренц-инвариантна,
если D = 10, а а = 1/2. Далее будет показано, что явно ковариантный (но
не явно свободный от духов) формализм фактически эквивалентен формализму
на световом конусе и поэтому свободен от духов. Это вновь предполагает
использование вершины, описывающей испускание безмассового бозона, и
определенных продольных операторов для получения физического спектра.
Затем мы перейдем к вопросам, которые не имеют бозонного аналога; первое
свидетельство существования пространственно:времен-ной суперсимметрии
