Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
можно продемонстрировать простым продолжением рассуждений, проведенных
для бозонной теории. В результате произвольное состояние в гильбертовом
пространстве
4.3. Квантование в калибровке светового конуса
24Т
может быть записано в виде
|cp> = |s> + |6>, (4.3.36)
где |s> является шпурионным состоянием, a \k) вида
°° Л "
\k)= П ял П K-mm\f).
s - l/2 m= 1
Следующий шаг в доказательстве теоремы об отсутствии духов состоит в
демонстрации того, что в случае пространства критической размерности
произвольное шпурионное состояние |s>, удовлетворяющее условию L0= 1/2,
отображается при действии калибровок Lm и Gr (m, г > 0) в другое
шпурионное состояние. Доказательство вновь аналогично тому, что было в
разд. 2.3.3,. и на этот раз начинается с рассмотрения действия оператора
Gi/2 и (?з/2 = G3/2 + 2L\G\/2 на шпурионное состояние. Только если
Lo=l/2, а ?>=10, эти операторы, подействовав на шпурионное состояние,
дают в результате другое шпурионное состояние. Ввиду того что все высшие
моды Gr, так же как и моды Lm при m > 0, могут быть построены с помощью
последовательного применения Gi/г и Gъп, то состояние |s> является
состоянием с нулевой нормой, а состояние \к) должно быть состоянием ДДФ.
Отсюда, как и в разд. 2.3.3, следует теорема об отсутствии духов.
Чтобы завершить описание алгебры, порождающей спектр, нужно еще построить
продольные операторы Ат и В7. Построение этих операторов алгебры,
порождающей спектр, основано на тех же принципах, которые использовались
в разд. 2.3.3. Однако алгебраические вычисления довольно утомительны, а
выражения громоздки, так что мы приведем только результаты.
Полная алгебра, порождающая спектр, дается соотношениями (4.3.30) и
соотношениями
. Ап] = tlAm + n> (4.3.38)-
. #] = 1 2 + 1 Bm+r, (4.3.39)*
Ап] = (т - п) Ат+п + tnbm+n, (4.3.40)
[В7, А1п] = (4.3.41)
{.В7 , Bi}= Ar + si (4.3.42)-
{В7, В7} = 2A7+s + 4r\ + s> (4.3.43)-
[Лт, В7] = (тт~г)в' m + r* (4.3.44)"
- состоянием (4.3.37)
248
4. Суперсимметрия мировой поверхности
Можно доказать с помощью тех же рассуждений, которые были использованы в
разд. 2.3.3, что эти операторы порождают весь физический спектр. Важной
особенностью этой алгебры является тот факт, что коммутационные
соотношения операторов Ат и В7 аналогичны соотношениям для операторов Lm
и Gr и отличаются от них только видом аномальных членов. Заметим, что эта
алгебра совпадает с алгеброй операторов в калибровке светового конуса
alm, р+а7п, Ь1Г, р+Ь7, ее аномалии согласованы с аномалиями в (4.3.10) и
(4.3.11) при D = 10 и а = 1/2, т. е. при тех же условиях, которые
необходимы для лоренц-инвари-антности. Если сделать растяжку компонент
"+" векторов № и р^ на \/у, а компонент "-" на у, что соответствует
продольному бусту, то алгебра, порождающая спектр, не изменится. В
пределе y~"-0 операторы А1т, Ат/р+, В1Г, В7/р+ сводятся к ос-цилляторным
выражениям а1т, ай, Ъ1Г, Ь7, приведенным в разд. 4.3.1. Это объясняет,
почему аномалии согласуются, если лоренцева алгебра удовлетворена.
Как и в бозонной теории, удобно определить операторы
8 оо
Ат = Ат-------2~?] ' Ат - пАп
i = 1 гг = - оо 8 оо
- т ? ? (г - т т): ¦ + тб- (4-3-45)
Г = 1 Г=-оо
8 оо
B7 = B7-1l Е В*г-пА1п, (4.3.46)
1 = 1 п - - оо
которые (анти) коммутируют с поперечными операторами ДДФ. Тогда
физическое подпространство пространства Фока можно отождествить с
подпространством явно положительно определенного гильбертова пространства
при а = 1/2 и D ^ 10. При D - 10 операторы Ат и В7 порождают физические
состояния нулевой нормы, ортогональные к каждому состоянию физического
спектра. Поэтому они описывают состояния, которые выпадают из физического
спектра, всецело построенного с помощью поперечных операторов ДДФ А1т и
В\.
При D > 10 спектр не содержит духов. Например, пара со-
^__2
стояний BI3/2IO; р0) и 2г=1 All, В'_1/21 0; р0) приводит к мат-
/ 8 D - 2 Y рице их скалярных произведений (п_2 D - 2/ С детеРми"
нантом (D - 2) (10 - D). Таким образом, при D > 10 одна линейная
комбинация описывает духовое состояние.
4.3. Квантование в калибровке светового конуса
249
4.3.3 Условие GSO
Рассматриваемая выше модель RNS является непоследовательной квантовой
теорией даже при D = 10 и а = 1/2 (или а^О в фермионном секторе), если не
наложить дополнительных условий. Спектр должен обрезаться очень
специфическим приемом, который был впервые предложен Глиоцци, Шерком и
Оливом (GSO).
Существует несколько аргументов в пользу необходимости обрезания спектра.
Во-первых, в теории имеется тахион, который мы хотели бы исключить.
Теория стала бы намного привлекательнее, если на состояния наложить
дополнительное ограничение, позволяющее исключить некоторые из них, в том
числе и тахион, и оставить безмассовые частицы, которые нас в
действительности и интересуют.
Во-вторых, хотя явного противоречия с теоремой о связи спина со
статистикой нет, некоторое беспокойство вызывают антикоммутирующие
операторы г|з^, отображающие бозоны в бозоны. Итак, пусть |ф> - бозонное
