Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
открытых струн или для сектора с модами, движущимися вправо, в случае
замкнутых струн. Включить в рассмотрение осцилляторы с тильдами,
являющиеся модами замкнутой струны, движущимися влево, достаточно просто,
но мы не будем это делать явно каждый раз, поскольку такие вычисления
были бы довольно утомительными.
Напомним, что имеются два различных типа струнных состояний,
соответствующих условиям ifi (я, т) = ±1р2(я, т) в случае открытой
струны. Знак плюс приводит к d-осцилляторам, являющимся модами с целыми
индексами, а знак минус - к й-осцилляторам, являющимся модами с
полуцелыми индексами. Часть уравнения связи Вирасоро, отвечающая нулевой
частоте, дает условие пребывания на массовой поверхности:
а'М2 - N + постоянная. (4.2.б)
Постоянная возникает в результате нормального упорядочения^ которое будет
описано позже, а
M = Na + Nd (4.2.7>
или
где
N = Na + Nb, (4.2.8)"
Na=ta_m-am, (4.2.9>
m" 1
Na= t md_n-dm, (4.2.10)
m-1
oo
Nb= ? rb_r-br. (4.2.11)
r = 1/2
Состояние с наименьшим квадратом массы соответствует основному состоянию
пространства Фока
<|0) = dS,|0) = 0, т> 0, (4.2.12)
или
<*т|.0) = йг I 0) = 0, т, г>0. (4.2.13)
Возбуждения, полученные действием повышающих операторов atm или d-m,
соответствуют повышению собственного значения а'М2 на т единиц.
Аналогично действие tP.r повышает а'М* на г единиц.
4.2. Квантование - старый ковариантный подход
231
Заметим, что в случае с полуцелыми модами можно выбрать единственное
невырожденное основное состояние, которое поэтому можно считать
состоянием со спином нуль. В случае с целыми модами этого сделать нельзя
из-за операторов do. Операторы $ подчиняются алгебре
и коммутируют с оператором М2. Эта алгебра совпадает с алгеброй Дирака,
так что с точностью до нормировки нулевые моды do являются матрицами
Дирака. Если потребовать, чтобы матрицы Дирака удовлетворяли соотношению
{Г^-, Tv} =-2t]^v, то
при нашем выборе знака и метрики.
Состояния на каждом массовом уровне должны преобразовываться по
представлениям алгебры (4.2.14), и это должно •быть справедливым, в
частности, для основного состояния в пространстве Фока. На самом деле оно
обязано преобразовываться по неприводимому представлению алгебры
(4.2.14), так как нет никаких других нулевых мод, которые могли бы
привести к вырождению. Теория представлений алгебры Клиффорда (4.2.14)
хорошо известна. Ее неприводимые представления соответствуют спинорам
группы 50(1,9). Поэтому граничные условия, которые приводят к
осцилляторам d, являющимся модами с целыми индексами, должны приводить,
как и утверждалось ранее, к фермионным струнам. Секторы со спинорами
мировой поверхности, являющимися модами с целыми или полуцелыми
индексами, обычно называются фермионным (или R) или бозонным (или NS)
секторами соответственно. Бозонный сектор суперструн, конечно, не следует
путать с бозонными струнами, которые рассматривались в гл. 2 и 3. В
описание первых входят
6-осцилляторы, а в описание вторых-нет.
Как и в бозонном случае, плотности импульса и углового момента вдоль
струны представимы в виде нётеровых токов, связанных с глобальными
симметриями Х^1 -> av^v + b^, il/-> avi|)v. Мы получаем (положив Г = 1/я)
к, <*(у} = тГ
(4.2.14)
(4.2.15)
Явные формулы для лоренцевых генераторов, выраженных через разложения по
модам, можно найти подстановкой в (4.2.16)
232
4. Суперсимметрия мировой поверхности
где
вместо Х^(а,г) и ^(а, т) их разложений по модам. Сохраняющиеся заряды
даются формулами
Л
S"=$/!"do = r+E"v + K,lv, (4.2.17)
О
Г = - XУ1 (4.2.18)
оо
(а-"°Я ~ (4.2.19)
как это и было в теории бозонной струны. Имеется также вклад от
фермионных мод:
= f) (tf-rtf-bStf), (NS) (4.2.20)
Г-1/2
= _r * t ? (d"_ndl _ dv_nd"y (R) (4>2 21>
n~ 1
Строя J^v, мы просто складываем некоторое число коммутирующих
представлений алгебры Лоренца, так что сумма очевидным образом должна
удовлетворять той же самой алгебре.
4.2.2. Супералгебра Вирасоро и физические состояния
В разд. 4.1.4 мы определили обобщенные связи Вирасоро
Lm и Fm или Gr как фурье-моды от операторов Т++ и /+ соот-
ветственно. Подставляя непосредственно разложения по модам операторов -
Х^(а,т) и ^(а,г), мы получаем явные выражения через различные
осцилляторы. Операторы Вирасоро принимают вид
Lm = L(m + im. (NS) (4.2.22)
L^lW + lW, (R) (4.2.23)
где
IS?-4- ? <4-2-24>
4.2. Квантование - старый ковариантный подход
233
как и раньше, а
оо
L" =Т Z (r + -Tm) : b-r'b^r- , (4.2.25)
Г=-оо оо
=Т Е (я + Тm) : ¦ • (4.2.26)
- оо
Во всех случаях нормальное упорядочение требуется только при т = 0. Для
фермионных генераторов мы получаем
оо
Gr= X a_n-br+n, (NS) (4.2.27)
П~~ СО оо
Fm = Е а_п-а.т+п- (R) (4.2.28)
П=-оо
Супералгебра Вирасоро в бозонном (или NS) секторе задается формулами
[Lmi ^ri\ == (^ Lт + п "Ь ^4 (ffj) $т + п>
[Lm> Gr] = (4- m - r) Gm+r, (4.2.29)
{Gr, Gs} = 2Lr+s+B(m)6r+s.
Здесь Л(т) и В (г) являются с-числовыми аномальными членами,
аналогичными тем, которые возникали в бозонной
