Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
координатам в разд. 3.1.1, мы на самом деле уже пользовались
бесконечномерными интегралами Березина.
222
4. Суперсимметрия мировой поверхности
выражении, что приводит к интегралу, который в соответствии с правилами
Березина обращается в нуль.
Основным свойством интеграла (4.1.30) является его инвариантность
относительно преобразований суперсимметрии в следующем смысле. Пусть Y -
произвольное суперполе, и пусть
S=jW?. (4.1.34)
Тогда S инвариантно относительно преобразований суперсимметрии 6У=ё(2У.
Это объясняется тем, что, записывая
6S = ^ d2ad2QeQY (4.1.35)
и записывая оператор Q в явном виде, мы находим, что (4.1.35) обращается
в нуль, если проинтегрировать по частям. Под "интегрированием
по частям" мы имеем, конечно, в виду равенство
(4.1.33), а также обычное интегрирование по частям в обычных интегралах
по бозонным переменным. Итак, мы выяснили, каким образом писать
суперсимметричные лагранжианы. Для всякого суперполя Y действие S
инвариантно относительно суперсимметрии. Суперполе У в свою очередь может
быть построено как некоторое произведение элементарных суперполей и их
ко-вариантных производных.
Вернемся теперь к нашей первоначальной проблеме, в которой элементарные
суперполя являются D-мультиплетом, преобразующимся по векторному
представлению группы SO(D-1,1). Мы уже знаем, как построить для этого
суперполя бесконечное число суперсимметричных лагранжианов. Особый
интерес представляет действие
S = _±- J d2od2QDY>lDYll. (4.1.36)
Чтобы вычислить интегралы по 0 в явном виде, сначала заметим, что
DY* = гГ + ев11 - ip^dX + \ ёбрЧчЛ (4.1.37)
DY" = ф"+ Б^е + 1даХ^ра - -J ёвда^ра, (4.1.38)
где мы воспользовались соотношением (4.1.22). Таким образом, DYV'DYh
содержит следующие слагаемые, квадратичные по 0:
дД^рХцёрУе + B"Bj№ + У №рада% ~ да^ра%) 00 =
= (- даХ*даХ11 + фрада% + ВХ)бе- (4.1.39)
4.1. Классическая теория
223
Используя правило интегрирования (4.1.32), мы можем разложить действие по
компонентам:
S'°= " i S d2° - фрада% - B^Bj. (4.1.40)
Уравнения движения, полученные из этого действия, гласят, что Ви- = 0,
так что вполне законно просто положить Bv- равным нулю и забыть об этом
поле. Таким путем мы вновь вернемся к действию (4.1.2), с которого
начали, но с одним существенным отличием: теперь мы намного лучше
понимаем, почему (4.1.2) инвариантно относительно преобразований
суперсимметрии.
Вспомним теперь о первоначальной цели, которую мы ставили, начав поиски
новой суперсимметрии. Чтобы действие
(4.1.2) с его времениподобными фермионами г|з°, обладающими
неправильной метрикой, приводило к приемлемой теории, оно должно обладать
более широкой симметрией, позволяющей исключать нежелательные моды.
Обнаружение суперсимметрии у действия (4.1.2) или (4.1.40), несомненно,
является шагом в правильном направлении, но он приводит к необходимости
работать с алгеброй бесконечнокомпонентной симметрии.
4.1.3. Уравнения связей
Алгебру с требуемой бесконечнокомпонентной симметрией не так трудно
найти. Единственными преобразованиями симметрии, с которыми мы до сих пор
имели дело, были преобразования глобальной суперсимметрии (4.1.8) с
постоянным параметром суперсимметрии е. Постоянные трансляции координат
мировой поверхности также неявно присутствовали в этом обсуждении, так
как коммутатор двух генераторов глобальной суперсимметрии Qa является
трансляцией. Указанные трансляции суть трансляции координат мировой
поверхности а и -г. Но в теории бозонной струны трансляции ст и -г
генерируются операторами L0 и Lo, т. е. двумя генераторами Вирасоро.
Точно так же, как L0 и ?0 генерируют лишь небольшую подалгебру алгебры
бесконечномерной симметрии теории бозонной струны, операторы Qa
генерируют алгебру, которую мы должны расшчрить до алгебры
бесконечнокомпонентной "суперсимметрии".
Уравнение движения для фермионов, выведенное из (4.1.2), является просто
двумерным уравнением Дирака р"<9аф = 0, к которому нужно добавить
граничные условия, что будет обсуждаться ниже. Это уравнение в базисе, в
котором матрицы р" имеют вид (4.1.3), разбивается на два несвязанных друг
с дру-
224
4. Суперсимметрия мировой поверхности
гом уравнения, одно для верхних, а другое - для нижних компонент спинора
Таким образом, г|)_ и г|э+ описывают моды, движущиеся вправо и влево
соответственно. Двумерное уравнение Дирака можно записать в таком виде,
что станет вполне наглядной несвязанность компонент г|)+ и г|з_, а также
в виде уравнений движения
(4.1.41), если ввести на мировой поверхности координаты све-
действия, выраженная через эти переменные, оказывается равной
(где индекс ц. опущен). Из формулы (4.1.42) становится очевидным, что мы
могли бы положить, скажем, компоненту г]?+ равной нулю и обсуждать
двумерный лагранжиан, содержащий только моды, движущиеся вправо.
Двумерный оператор ки-ральности р = р°р1 в качестве своих собственных
состояний имеет компоненты г|)± (точнее, рг]?± = ^г^), так что, положив
г|н- = 0, мы будем работать только со спинорным полем положительной
