Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
состояние, которое мы считаем "хорошим"; предположим, что это безмассовый
векторный мезон. Тогда г^Ф) является состоянием с целым спином, которое
тем не менее получено из состояния |ф> действием на него
антикоммутирующего оператора - ситуация не совсем естественная. В более
общем случае рассмотрим состояние
¦ф1*1 (ofi) 1|^2 (сг2) • • • (<*п) I Ф>- (4.3.47)
При любом п это состояние является бозонным, так как все
являются бозонными операторами. При четных п ничего необычного здесь нет,
так как произведение п антикоммутирующих операторов коммутирует. Но,
рассматривая состояния
(4.3.47) при нечетном п, мы приходим к ощущению, что не все
благополучно. У нас возникает желание отбросить состояния
(4.3.47) с нечетным п, оставляя состояния только с четным п.
Формально этого можно добиться введением квантового числа, называемого (-
1)F (исторически оно было названо G-четностью в стремлении применить
струнную теорию к сильным взаимодействиям), для которого ферми-поля
являются нечётными, а бозе-поля - четными. Это свойство характеризует
оператор (-l)f только с точностью до знака. Мы зафиксируем знак, считая,
что для безмассового вектора (-1)F=+1. Тогда для состояния общего вида
(4.3.47) (-1)F = (-Л)".
Удержание состояний только с четным п и является удержанием только
состояний, для которых (-1)F = +1. Это и есть проекция GSO.
250
4. Суперсимметрия мировой поверхности
Третьим очень важным преимуществом проекции GSO является то, что она
приводит к суперсимметричной теории (в смысле суперсимметрии в
десятимерном пространстве в отличие от уже имеющейся двумерной
суперсимметрии). Мы увидим свидетельства тому в настоящей главе, а полное
доказательство будет дано в следующей главе. Суперсимметрия пространства-
времени делает теорию элегантной и привлекательной, и уже только поэтому
проекция GSO достойна внимания. Более того, изучая спектр, мы установим,
что в числе частиц, описываемых теорией, имеются безмассовые частицы со
спином 3/2. Мы думаем, что при включении взаимодействия теория навряд ли
останется последовательной, если только безмассовые частицы со спином 3/2
не будут взаимодействовать с сохраняющимися токами. Соответствующий
сохраняющийся заряд имел бы спин 1/2 и был бы суперсимметричным зарядом.
Таким образом, ¦следует ожидать, что при включении взаимодействия
проекция GSO (или некоторая другая модификация, которая либо исключает
безмассовые частицы со спином 3/2, либо приводит к суперсимметрии
пространства-времени) необходима для получения последовательной теории.
Почему это действительно так, мы установим в гл. 9.
В оставшейся части этого подраздела мы приведем косвенное доказательство
того, что модель RNS с проекцией GSO является суперсимметричной теорией в
десятимерном пространстве. Но сначала необходимо дать некоторые
предварительные сведения.
Мы уже знаем, что безмассовые состояния открытой струны ¦состоят из
вектора и спинора. Вектор описывается состоянием -ЛИх/а | 0; k) в
пространстве Фока. Безмассовый спинор соответствует решению с наименьшей
массой уравнения /''о|'Фо>=0. Такое состояние описывается выражением |а;
k}ua(k), где ua(k) является спинором, удовлетворяющим безмассовому
уравнению Дирака. (Так как основное состояние в R-секторе является
спинором, мы обозначим его как | a; k>, где а является спинорным
индексом, a k - импульсом.) Необходимое условие суперсимметричности
теории состоит в том, что эта пара состояний должна образовывать
суперсимметричный мультиплет. (Ненарушенная суперсимметрия требует, чтобы
каждый массовый уровень образовывал супер мультиплет.) Векторное поле А^
при Ъ = 10 имеет десять компонент, но только восемь поперечных компонент
описывают независимо распространяющиеся моды. Таким образом,
суперсимметрия требует, чтобы безмассовые спиноры также имели восемь
распространяющихся мод. В общем случае можно предполагать, что спинор в
десятимерии
4.3. Квантование в калибровке светового конуса
251
имеет 2в/2 = 32 комплексных компонент1). Однако ниже мы покажем, что
можно одновременно наложить майорановские и вейлевские ограничения,
каждое из которых уменьшает число компонент в два раза, сводя тем самым
их полное число к 16 вещественным компонентам. Эти оставшиеся 16
компонент должны по-прежнему удовлетворять уравнению Дирака Г-д% = 0,
чтобы описывать распространяющиеся физические степени свободы. Это
линейное уравнение связывает одну половину компонент с другой половиной,
которые в свою очередь удовлетворяют уравнению Клейна - Гордона. Таким
образом, как всегда, число распространяющихся мод, которые описываются
спинорами, удовлетворяющими уравнению Дирака, в точности равно половине
числа спинорных компонент. Получается, что майора-но-вейлевский спинор
при D = 10 описывает восемь распространяющихся мод, т. е. такое их число,
которое необходимо для образования супермультиплета вместе с вектором Лц.
Рассмотрим сначал условие Майораны. Оно является просто условием
