Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ra, определяемый равенством
I--=MR%. (5.30)
С помощью радиуса инерции вектор р можно представит! а виде
7?о VM '
Следовательно, радиус-вектор каждой точки эллипсоида инерции обратно
пропорционален радиусу инерции относительно оси, на которой лежит этот
вектор.
§ 5.5. Общий метод решения задачи о движении твёрдого тела. Уравнения
Эйлера. Весь аппарат, необходимый для решения задачи о движении твёрдого
тела, нами практически уже получен. В некоторых случаях, когда на это
тело наложены неголономные связи, нам потребуется применить специальные
приёмы, чтобы учесть их. Так обстоит дело, например, в том случае, когда
на тело наложена "связь качения", которая может быть учтена с помощью
введения неопределённых множителей Лагранжа, как это делается в § 2.4.
Если, однако, исключить эти специальные случаи, то, как правило, нам
придётся иметь дело только с голономными и консервативными системами, а
движение таких систем вполне определяется их лагранжианом. Если
рассматриваемое тело является свободным, то нам потребуется полная
система из шести обобщённых координат: трёх декартовых координат для
описания поступательного движения и трёх углов Эйлера для описания его
вращения. Кинетическую энергию этого тела можно представить как энергию
его поступательного движения вместе с центром масс и энергию
вращательного движения, т. е. в виде
j Mv1 ¦+- ~ /ш2.
Чтобы получить удобное выражение для второго члена этой суммы, его обычно
выражают в главных осях; при этом вращательная энергия приобретает
простой вид, получающийся из (5.21) после подстановки туда составляющих
вектора w, выраженных через углы Эйлера. Разумеется, если одна точка
твёрдого тела закреплена, то его кинетическая энергия будет состоять
только из энергии вращения, и тогда задача значительно упростится.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДО! о ТЕЛА
[ел. 5
Б ряде случаев изучаемое движение является плоским, например движение
пластины в своей плоскости. Тогда направление оси вращения будет всё
время перпендикулярным к этой плоскости, т. е. будет фиксированным в
пространстве. В этом случае понадобятся не три угла, характеризующих
вращение, а только один такой угол, и можно будет обойтись без громоздких
формул, содержащих углы Эйлера.
Хотя формально уравнения Лагранжа и достаточны для решения
рассматриваемой задачи, однако в случае тела с одной неподвижной точкой
часто удобнее пользоваться другими уравнениями, известными под названием
уравнений Эйлера.
Эти уравнения можно получить следующим образом. В случае, когда
действующие силы являются консервативными, рассматриваемое твёрдое тело
имеет лагранжиан, равный
где Iv /2, /3 - главные моменты инерции относительно неподвижной точки.
Далее, нам нужно подставить сюда составляющие шг,
выраженные через углы Эйлера, что можно сделать с помощью формул (4.103),
связывающих главные оси тела с некоторой неподвижной системой осей.
Полученный таким путём лагранжиан будет функцией трёх углов поворота: 0,
ф и f Заметим теперь, что если некоторая обобщённая координата описывает
вращение, то соответствующая обобщённая сила будет составляющей
вращающего момента вдоль оси вращения (см. § 2.6). Поэтому обобщённые
силы, соответствующие координатам 0, ср, ф будут составляющими
действующего вращающего момента, но только не вдоль главных осей тела, а
вдоль линии узлов, неподвижной оси z и подвижной оси z', связанной с
телом. Следовательно, из трёх этих обобщённых сил dV
только сила - соответствующая углу ш, представляет полный
момент действующих сил относительно одной из главных осей - оси z.
Поэтому уравнение Лагранжа, соответствующее координате б, можно записать
в виде
(5.32)
Далее, из уравнений (4.103) видно, что производную ф содержит только
составляющая шг, а саму координату ф-только составляющие Шд, и шу. При
этом имеют место равенства:
§ 5.5] ОШЦИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА 177
С помощью этих формул и формулы кинетической энергии в форме (5.21) мы
получим следующие выражения для частных производных, входящих в (5.32):
Поэтому уравнение (5.32) принимает вид
Далее заметим, что, выбирая одну из главных осей в качестве оси z, мы
совершали этот выбор совершенно произвольно. Поэтому в уравнении (5.33)
можно переставить индексы- и написать аналогичное уравнение для
составляющей полного момента относительно любой из главных осей. Таким
образом, мы сразу получаем полную систему уравнений движения, которая
имеет следующий вид:
Это - так называемые уравнения Эйлера для движения твёрдого тела с одной
неподвижной точкой. Следует подчеркнуть, что третье из этих уравнений
является уравнением Лагранжа для координаты <|>, однако два других не
являются уравнениями Лагранжа для
no* dV
координат 0 и ф. Это видно хотя бы из того, что производная-
не равна Nx или Ny, а является составляющей момента N по линии узлов.
Возможен другой вывод уравнений Эйлера, основанный на теореме о
кинетическом моменте, согласно которой
