Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
следует сослаться на сделанное нами в § 4.4 примечание относительно
сравнения формул этого
*) Имеется русский перевод: Курант Р. и Гильберт Д., Методы
математической физики, М. - Л., Гостехиздат, 1945.
160 КИНЕМА1ИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. 4)
автора с нашими.) В § 12 этой книги рассматривается связь между
параметрами Кейли - Клейна и так называемым "томографическим"
[(преобразованием.
W. F. Osgood, Mechanics.
В главе IX этой книги кратко рассматривается движение относительно
подвижной системы координат и изучаются эффекты, вызываемые центробежной
и кориолисовой силами.
О. Herzberg, Infrared and Raman Spectra.
В этой книге, в особенности в главе IV, §§ 1 и 2, подробно рассмотрен
вопрос о влиянии сил Кориолиса на спектры многоатомных молекул; однако
следует заметить, что для полного понимания этих вопросов необходимо
знать основы теории малых колебаний (см. нашу книгу, главу 10), а также
основы квантовой механики.
ГЛАВ А 5
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
Глава 4 предоставила нам необходимый кинематический аппарат для
исследования движения твёрдого тела. Углы Эйлера дают нам систему трёх
координат, которые, хотя и не вполне симметричны, однако удобны для
использования их в качестве обобщённых координат, описывающих ориентацию
твёрдого тела. Кроме того, метод ортогональных преобразований и связанная
с ним матричная алгебра дают мощный и изящный аппарат для исследования
характеристик движения твёрдого тела. Мы однажды уже применили этот
аппарат при выводе уравнения (4.100), связывающего скорости изменения
вектора в неподвижной системе координат и в системе, связанной с телом.
Теперь мы применим этот аппарат для получения динамических уравнений
движения твёрдого тела в их наиболее удобной форме. Получив эти
уравнения, мы сможем рассмотреть несколько простых, но важных случаев
движения твёрдого тела.
§ 5.1. Кинетический момент и кинетическая энергия тела, имеющего
неподвижную точку. Согласно теореме Шаля произвольное перемещение
твёрдого тела можно разбить на поступательное и вращательное. Таким
образом, эта теорема указывает на возможность разделения задачи о
движении твёрдого тела на две отдельные части, одна из которых касается
только поступательного движения, а другая - только вращательного. В том
случае, когда одна точка тела неподвижна, такое разделение является
очевидным, так как в этом случае имеется только одно вращательное
движение вокруг неподвижной точки, а поступательное движение отсутствует.
Однако и в более общих случаях движения такое разделение часто
оказывается возможным. Шесть координат, описывающих движение тела в
соответствии с таким разделением, уже были нами рассмотрены. Это - три
декартовы координаты некоторой фиксированной точки твёрдого тела (они
описывают поступательное движение) и, например, три угла Эйлера, служащие
для описания движения тела вокруг этой точки. Если начало подвижной
системы выбрать в центре масс тела, то согласно уравнению (1.26) полный
кинетический момент его распадается на две части: одну часть,
соответствующую
162
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
(гл. 5
движению центра масс, и другую, соответствующую вращению вокруг центра
масс. Первая из них будет содержать только декартовы координаты центра
масс, а вторая - только угловые координаты. Согласно уравнению (1.29)
аналогичное разложение можно выполнить и для кинетической энергии,
которую можно записать в виде
т. е. как сумму кинетической энергии центра масс в предположении, что в
нём сконцентрирована вся масса тела, и кинетической энергии движения
вокруг центра масс.
Потенциальную энергию тоже часто удаётся разделить на две подобные части,
из которых одна содержит только координаты, соответствующие
поступательному движению, а другая - только угловые координаты. Так,
например, гравитационная потенциальная энергия зависит только от
вертикальной декартовой координаты центра тяжести *). Аналогично, если
сила вызывается однородным полем В, действующим на диполь с магнитным
моментом М, то потенциал пропорционален произведению М ¦ В, зависящему
только от ориентации тела. Вообще почти все практически встречающиеся
задачи допускают такое разложение. В этом случае рассматриваемая задача
распадается на две, так как лагранжиан L-T-V разбивается при этом на две
части, одна из которых содержит только поступательные координаты, а
другая - только угловые. Эти две группы координат будут тогда полностью
разделены, и задачи о поступательном и о вращательном движении можно
решать независимо друг от друга. Поэтому важно получить выражения для
кинетического момента и кинетической энергии тела, имеющего неподвижную
точку.
Кинетический момент тела относительно неподвижной точки равен
где г,- и (c)4-радиус-вектор и скорость г'-й частицы относительно этой
точки. Так как в системе координат, связанной с телом, составляющие
вектора г* постоянны, то скорость (c)* есть абсолютная скорость,
возникающая только вследствие вращения твёрдого тела вокруг неподвижной
