Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
... . . L (b - в cos 0)3
Mel cos 0 • •
188
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл. 5
Если же и' будет лежать между их и и2, то направления прецессии на
граничных окружностях будут различными, и траектория апекса будет иметь
петлеобразный вид, как показано на рис. 58,Ь. Среднее значение ср,
однако, не будет при этом равно нулю и, следовательно, будет иметься
прецессия в том или ином направлении.
Может также случиться, что и' будет совпадать с одним из корней функции
/(и). Тогда на соответствующих граничных окружностях обратятся в нуль и 0
и ср, что приведёт к появлению точек заострения в этих местах траектории
апекса, как показано на рис. 58, с. Следует заметить, что этот случай не
является исключительным, как это может показаться на первый взгляд, так
как он соответствует тем естественным начальным условиям, которые обычно
Рис. 58. Возможные формы кривых, описываемых апексом на сфере единичного
радиуса.
рассматриваются в элементарной теории волчка. Они состоят в следующем:
симметричный волчок получает начальную угловую скорость вокруг
собственной неподвижной оси, которая затем освобождается, и волчок
начинает своё движение. Эти начальные условия имеют вид: [0]г=о = 0о.
[0]г=о = [?]г=0 - О, и отсюда следует, что cos0o должен быть одним из
корней функции /(и). Покажем теперь, что он соответствует верхней
граничной окружности. Для этого заметим, что в рассматриваемом случае
величина Е' будет в начальный момент равна Mgl cos0o, причём члены
формулы (5.52), содержащие 6 и ср, всегда положительны. Следовательно,
когда 0 и ср начинают изменяться от нуля, то энергия Е' может остаться
неизменной только в случае уменьшения потенциальной энергии, т. е. в
случае увеличения угла 0. Поэтому 0О будет равно 02, т. е. будет равно
минимальному значению угла 6. Отсюда видно, что рассматриваемый волчок в
начале своего движения всегда опускается и продолжает опускаться до тех
пор, пока не будет достигнут другой граничный угол-угол 0Х; при этом
волчок всё
§ 5.7] ТЯЖЁЛЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК С НЕПОДВИЖНОЙ точкой 189
время прецессирует. Когда ось волчка достигает угла 01, она опять
начинает подниматься, и 6 вновь становится равным 02 и т. д. (см. рис.
58, с). При указанных начальных условиях (90 = ?о = 0) и ПРИ достаточно
быстром вращении волчка его движение можно исследовать элементарными
методами и в количественном отношении. Это удаётся сделать только в том
случае, когда начальная кинетическая энергия волчка велика по сравнению с
возможным изменением его потенциальной энергии, т. е. когда выполняется
неравенство
(5.58)
Эффекты, - вызванные моментом силы тяжести, т. е. прецессия и нутация,
будут тогда играть роль малых возмущений, накладываемых на вращение
волчка вокруг своей оси. В этом случае (в случае "быстрого волчка") можно
вычислить величину и период нутации, а также среднюю угловую скорость
прецессии.
Так как согласно заданным начальным условиям 02 равно 90, то можно
написать "2 - и0. Поэтому амплитуда нутации будет зависеть от значения
другого вещественного корня функции /(и). Заметим, что так как при и~и0
скорость (r) обращается в нуль, то
b = аи0.
Кроме того, так как /("о) = 0, то из (5.55) заключаем, что
а = ;3и0.
(Это равенство выражает тот факт, что Е' - Mglcos 90.) С помощью этих
соотношений функция /(и) может быть записана в виде
/(й) = ("0 - и) 0(1 -и2) - а2 (и0 - и)). (5.59)
Отсюда следует, что корнями функции /(и), отличными от и0, являются корни
квадратного полинома, стоящего в фигурных скобках. Таким образом, искомый
корень их удовлетворяет уравнению
(1_й2)_^.(ао_в1)=эо. (5.60)
Разность и0 - и мы будем обозначать через х, а разность и0 - и1 через
Поэтому уравнение (5.60) можно записать в виде
x\-\-Pxi - д = о. (5.61)
где
а2
Р - -^-----2cos90, g, = sin2 90.
Но членом 2 cos 90 в выражении для р можно пренебречь, так как отношение
а2/]3 можно записать в виде
НК) УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА (ГЛ. 5
и поскольку рассматриваемый волчок является "быстрым" [см. неравенство
(5.58)], то оно во много раз больше 2 (за исключением случая, когда
отношение 13//1 очень мало, что соответствует волчку необычной,
сигарообразной формы). По той же причине р2 во много раз больше 4q, и
поэтому первый корень уравнения (5.61) можно считать равным
х, = -г-,
а второй
-р-
1.
Р '
Второй из этих корней соответствует значению а, большему единицы, и,
следовательно, интересующий нас корень равен
Xl = _ A sin2 оо. (5.62)
а" /3 /3о>;
Таким образом, амплитуда нутации, которую можно считать пропорциональной
хх = и0-их, будет тем меньше, чем меньше 1 /ш2. т. е. чем быстрее
вращается волчок.
В случае "быстрого волчка" можно легко найти и угловую
частоту нутации. Так как амплитуда её в этом случае мала, то член (1-и2)
в уравнении (5.59) можно заменить его начальным значением, равным sin20o.
Тогда уравнение (5.59) примет вид
/(и) = х2 = х (]3 sin2 0О- а2х). (5.63)
Уравнение (5.63) представляет собой дифференциальное уравнение,
