Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
Je, I
Преобразование матрицы оператора I является подобным преобразованием с
помощью матрицы А- Поэтому можно написать
/' = А/А-1.
или, так как матрица А ортогональна:
Г -А /А.
Тогда //-й элемент преобразованной матрицы определится с помощью
равенства
h] - ZJ aikhlalj = aika)lhd' (5-1 О
к, г к, г
совпадающего по форме с (5.10). Отсюда следует, что оператор I есть
тензор второго ранга.
Строго говоря, следует различать тензор I и квадратную матрицу,
образованную из его составляющих. Определяющим признаком тензора является
выполнение определённых правил его преобразования при ортогональном
преобразовании координат. С другой стороны, матрица никак не
ограничивается видом преобразований, которым она может быть подвергнута,
и может рассматриваться совершенно независимо от её свойств при данных
преобразованиях.
*) Мы не будем делать различия между ковариантными и контрвариантными
тензорами, так как это -не имеет значения в случае 'декартовой системы
координат-
166
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. 5
Тем не менее, неправильно было бы всегда подчёркивать это различие, так
как, оставаясь в пределах ортогональных преобразований, мы будем иметь
здесь полную идентичность. Составляющие тензора и элементы матрицы
преобразуются в этом случае одинаковым образом, и каждому тензорному
равенству при этом будет соответствовать некоторое матричное равенство и
наоборот. Эквивалентность между тензорами и матрицами не ограничивается
тензорами второго ранга. Так, например, мы знаем, чго составляющие
вектора, который в сущности является тензором первого ранга, образуют
матрицу, состоящую из одного столбца, и поэтому действия над векторами
можно трактовать как действия над соответствующими матрицами.
Другое полезное представление оператора 1 можно получить с помощью
диадного исчисления. Диадным произведением мы будем называть совокупность
двух векторов, заданных в определённом порядке. Мы будем обозначать его
символом АВ и вектор А называть левым множителем, а вектор В - правым.
Скалярное произведение АВ на вектор С можно получить двумя путями:
АВ • С = А(В ¦ С)
или
С- АВ = В(А • С).
В общем случае эти произведения не равны друг другу, следовательно,
скалярное умножение диад некоммутативно. Следует заметить, что в обоих
случаях скалярного умножения мы получаем вектор, отличающийся как
направлением, так и величиной от вектора С. Кроме того, можно ввести
произведение
АВ : CD=~-(A С)(В ¦ D).
Более удобно, однако, записать его в виде АВ : CD =s С • АВ ¦ D.
Под диадой мы будем понимать сумму *)
AB+CDAr . ..
В сущности любое диадное произведение АВ можно представить в виде диады,
выразив для этого векторы А и В через их соста-
*) Если точно придерживаться терминологии Гиббса, которой следует
Голдстейн в оригинале этой книги, то диадное произведение АВ следует
называть диадой, вектор А-предыдущим (антецедентом-antecedent), вектор В
- последующим (консеквентом - consequent), произведение АВ-С -
постфактором (postfactor), произведение С ¦ АВ - префактором (prefactor),
а сумму диадных произведений AB-\rCD-\- ... -диадкком (dyadic). В тексте,
однако, использованы обозначения, принятые в русской литературе (см.,
например, Д. И. К р у т и л и н, Теория конечных деформаций, 1947, или А.
Н а-дац, Пластичность и разрушение твёрдых тел, 1954). (Прим. перев.)
§ 5.3]
ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ И МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
167
вляющне вдоль ортов i, j, k. В этом случае диадное произведение АВ
принимает вид
АВ = AxBxii -|- AxByij -f- AxBzik -\-
+ AyBxji + AyByjj -f- AyBzjk -f-
~b AzBxki -f- AzBykj AzBzkk. (5.12)
Правая часть равенства (5.12) называется девятичленкой формой диадного
произведения, так как она содержит девять коэффициентов. Очевидно, таким
путём можно свести к девятичленной форме и любую диаду. Так как
коэффициенты девятичленного представления диады являются однородными
квадратичными функциями составляющих векторов, то, очевидно, они будут
преобразовываться так же, как составляющие тензора второго
ранга [см. уравнение (5.10)]. И обратно, из каждого тензора
второго ранга можно
образовать диаду, для чего достаточно использовать составляющие тензора в
качестве соответствующих коэффициентов девятичленной формы. Таким
образом, имеется полная формальная аналогия между диадой и тензором
второго ранга. Кроме того, они эквивалентны и в отношении действия,
производимого ими на вектор, ибо мы знаем, что скалярное произведение
диады на вектор есть опять некоторый вектор. Поэтому оператор / можно
записать таким образом, что будет ясно видна его диадная форма. Для этого
мы введём единичную диаду 1:
1 \-kk, (5.13)
обозначение которой, конечно, вполне оправдано, так как матрица оператора
(5.13) совпадает с единичной матрицей. Кроме того, непосредственное
умножение показывает, что
1 ¦ А - А ¦ 1 = А.
Пользуясь этой диадой, можно записать / в виде
/ = 2'"{(г<1 - r/i),
г
что подтверждается равенством
/. <j> = '2imi[r\<3i - ri(ri • to)] =L, (5.14)
