Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
ориентацию подвижных осей, при которой тензор инерции является
диагональным и, следовательно, может быть записан в виде диады
I' = IJi + LJj -y hkk. (5.19)
В такой системе координат каждая из составляющих вектора L будет
содержать только соответствующую составляющую вектора ю; таким образом, в
этом случае будем иметь:
Lx = Ly ~ ['г== ^зшг- (5.20)
Аналогичное упрощение получается здесь и для кинетической энергии,
которая принимает вид
Г =4 А (5-21)
§ 5.4]
СОбСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ
171
Можно показать, что такие оси всегда существуют; доказательство этого
основывается на том, что тензор инерции является эрмитовым.
Как отмечалось в § 4.6, уравнение, определяющее собственные значения
матрицы, можно решить путём приведения этой матрицы к диагональному виду;
элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными
значениями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой I имеет
диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы
тензора /, причём числа Ilt /2, /3 суть собственные значения этой
матрицы. Кроме того, ясно, что в координатной системе, где тензор /
является диагональным, направление координатных осей совпадает с
направлением собственных векторов. Пусть, например, вектор о) будет
направлен вдоль одной из осей координат, скажем вдоль оси х. Тогда
кинетический момент ?=/. о) будет направлен вдоль этой же оси.
Следовательно, действие оператора / на вектор, параллельный одной из
координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том
же направлении. Но согласно определению такой вектор должен быть одним из
собственных векторов преобразования I.
В § 4.6 мы говорили о диагонализации матрицы и отыскании её собственных
значений. Однако сама по себе эта процедура не является доказательством
существования вещественной декартовой системы, в которой матрица тензора
/ ортогональна. Вспомним, например, что, за исключением тривиальных
случаев, любая ортогональная матрица имеет только одно вещественное
собственное значение и, значит, для собственных векторов её имеется
только одно вещественное направление (направление оси вращения). В
противополжность этому мы сейчас докажем, что все собственные значения
матрицы тензора I являются вещественными, а три вещественных направления
её собственных векторов взаимно ортогональны *).
Пусть Xkj будет /г-я составляющая j-го собственного вектора матрицы
тензора 1 (согласно обозначениям § 4.6). Тогда уравнения, определяющие
собственные векторы, запишутся в виде
(5.22)
if:
Умножая написанное равенство на Хц и суммируя по всем I, получаем
(5.23)
*) Это значит, что матрица X, которая диагонализирует матрицу тензора I
посредством подобного преобразования, является вещественной ортогональной
матрицей.
172
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл. 5
Сумму, стоящую в правой части этого равенства, можно записать в виде
произведения Rj • Rj, т. е. в виде скалярного произведения собственного
вектора Rj и вектора, комплексно сопряжённого с собственным вектором /?г.
Составляя теперь для /г уравнение, подобное (5.22), и переходя затем к
комплексно сопряжённому уравнению, будем иметь
г
Умножая это равенство на Xkj и суммируя по k, получаем
2 XlfMXkj = I* 2 XlXhj, (5.24)
г, к к
причём сумму, стоящую в правой части этого равенства, опять
можно заменить на Ri • Rj. Но так как матрица тензора / является
эрмитовой, то
hk == ^ki'
и, следовательно, левые части равенств (5.23) и (5.24) одинаковы. Вычитая
одно из другого, получаем
(Ij-Ii)Ri-Rj = 0. (5.25)
Пусть теперь I равно j. Тогда
R* ¦ Rj = \ Rj I2
будет некоторым положительным числом, и поэтому левая часть
равенства (5.25) будет обращаться в нуль только при Ij = 7), что
доказывает первую часть рассматриваемой теоремы. Заметим, что в этом
доказательстве использовалось лишь то обстоятельство, что матрица тензора
I является эрмитовской. Таким образом, собственные значения любой
эрмитовой матрицы являются вещественными. Так как матрица тензора /
является, кроме того, вещественной, то вещественными должны быть и
направляющие косинусы её собственных векторов Rj.
Пусть теперь I отлично от j и все собственные значения различны. Тогда
левая часть равенства (5.25) будет обращаться в нуль только тогда, когда
Ri ' Rj - 0. т. е. когда собственные векторы ортогональны, что доказывает
вторую половину теоремы *). Если
*) Здесь можно заметить близкую аналогию, связанную с уравнением Штурма -
Лиувилля в теории дифференциальных уравнений в частных производных, так
как известно, что собственные значения дифференциального оператора Эрмнта
являются вещественными, а соответствующие собственные функции -
ортогональными. Эта аналогия не является случайной, ибо всегда можно
установить соответствие между данным уравнением в частных производных и
некоторой матрицей. Именно такое соответствие имеет место р, квантовой
теории между матричной механикой и волновой механикой,
4 5.41
UH'A.TBEHIiUE ЗНАЧЕНИЯ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ
