Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
рис. 50. При установившемся состоянии движения скорости частиц воздуха не
возрастают и не убывают, и силы, действующие на воздушные массы,
обращаются в нуль. В этом случае сила Кориолиса должна быть равна и
противоположна силе, вызванной градиентом давления, а это возможно только
тогда, когда направление ветра параллельно изобарам. Область низкого
давления с приблизительно концентрическими изобарами называют циклоном. В
результате действия сил Кориолиса воздушные массы циклонов Северного
полушария вращаются вокруг центров этих циклонов против хода часо-
156
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 4]
вой стрелки; в Южном полушарии это движение совершается по ходу часовой
стрелки. В действительности, впрочем, кроме сил давления и сил Кориолиса
имеются ещё и силы вязкости, которые отклоняют ветер от направления
изобар. В северных широтах это отклонение составляет приблизительно 20-
30° (рис. 51).
Другим классическим примером заметного проявления сил Кориолиса является
отклонение свободно падающих тел от вертикали. Так как скорость падающего
тела является почти вертикальной, а вектор о) лежит в северо-южной
вертикальной плоскости, то отклоняющая сила 2т (v X w) будет всегда иметь
восточное или западное
направление. В Северном полушарии, например, свободно падающее тело
отклоняется к востоку. Вычисление этого отклонения сильно упрощается,
если ось z системы, связанной с Землёй, направить по вертикали.
Центробежная сила играет в данном случае лишь роль незначительной
поправки к вектору mg, и если в качестве плоскости yz выбрать северо-
южную вертикальную плоскость, то уравнение движения в направлении оси х
запишется в виде
где 6 - широта, отсчитываемая от Северного полюса. Если бы мы учли
влияние силы Кориолиса на скорость vz, то это внесло бы некоторую, очень
малую поправку в величину отклонения. Поэтому вертикальную скорость,
входящую в уравнение (4.109), можно вычислять без учёта сил Кориолиса.
Следовательно, можно принять;
Тогда уравнение (4.109) легко проинтегрировать. Проделав это получим
Низкое давление
Ни зное аЬвление
Рис. 51. Схема циклона в Северном полушарии: а) при отсутствии сил
Кориолиса, Ь) с учётом сил Кориолиса.
т -тх = - 2/"(о) X (c))ж - - 2,mmvz sin 0, (4.109)
а также
х = - ^ t3 sin О
ЗАДАЧИ
157
Порядок величины отклонения можно получить, положив, например, (экватор)
и 2 = 50 м. Тогда будем иметь л:^8 мм. Проверить этот результат
экспериментально, однако, довольно трудно, так как вследствие малости
этого отклонения оно может оказаться поглощённым возмущающим влиянием
воздушных потоков, вязкостью или другими случайными факторами.
Более удобен для наблюдения известный эксперимент с маятником Фуко. Если
поместить маятник на Северном полюсе и дать ему качаться в некоторой
плоскости неподвижного пространства, то проекция его количества движения
на перпендикуляр к этой плоскости будет равна нулю, и он будет продолжать
качаться в этой неизменной плоскости, хотя Земля будет под ним
поворачиваться. Поэтому наблюдателю, находящемуся на Земле, плоскость его
колебания будет казаться поворачивающейся со скоростью одного оборота в
сутки. На других широтах это явление будет протекать более сложно, однако
качественная картина останется такой же. Более подробное исследование
этого явления мы предоставляем читателям в качестве упражнения.
Сила Кориолиса сказывается и на некоторых явлениях атомной физики. Так,
например, в многоатомной молекуле может одновременно иметь место движение
двух типов: вращение молекулы как неизменяемой системы и колебание её
атомов около своих положений равновесия. Таким образом, здесь возникает
движение атомов относительно вращающейся системы координат, связанной с
молекулой. При этом возникают силы Кориолиса, заставляющие атомы
двигаться в направлениях, перпендикулярных к их колебаниям. Возмущения,
вызываемые в молекулярных спектрах этими силами, носят характер
взаимодействия вращательных и вибрационных уровней молекулы.
Задачи
1. Доказать, что умножение матриц ассоциативно. Показать, что
произведение двух ортогональных матриц есть также ортогональная матрица.
2, Доказать следующие свойства транспонированной и эрмитовски сопряжённой
матриц:
/VlV
АВ = ВА,
(АВ)+ = В+А+.
3. Показать, что след матрицы инвариантен относительно любого подобного
преобразования. Показать также, что антисимметричная матрица остаётся
антисимметричной при любом ортогональном подобном преобразовании, а
матрица Эрмита - при любом унитарном подобном преобразовании.
4, Выразить элементы матрици вращения А через углы Эйлера [формула
(4.46)], выполнив для этого умножение матриц последовательных поворотов.
Убедиться с помощью непосредственной проверки, что элементы матрицы
удовлетворяют условиям ортогональности.
IBS КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ. 4j
5. Показать, что составляющие угловой скорости по осям неподвижной
системы координат выражаются через углы Эйлера следующим образом:
