Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
смысл этого состоит в том, что однозначно определённым является только
направление собственного вектора, а не его величина, так как при
умножении собственного вектора на любую
136
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл. 4
постоянную получается опять собственный вектор. Во всяком случае, будучи
однородными, уравнения (4.76) могут иметь нетривиальное решение только
тогда, когда детерминант, составленный из их коэффициентов, равен нулю.
Таким образом, мы получаем уравнение
'А -XI
X
12
'13
-X
= 0.
(4.77)
Уравнение (4.77) известно под названием характеристического или векового
уравнения матрицы А; корнями его являются искомые собственные значения.
Следовательно, теорема Эйлера сводится к утверждению, что для
рассматриваемых вещественных ортогональных матриц характеристическое
уравнение должно иметь корень X = -[-1.
В общем случае характеристическое уравнение имеет три корня, и им
соответствуют три собственных вектора. Мы часто будем для удобства писать
Xlt Х2, Х3 вместо X, Y, Z. В этих обозначениях составляющие собственных
векторов можно записать в виде Xik, где первый индекс обозначает номер
составляющей собственного вектора, а второй - номер самого собственного
вектора. Тогда каждое из уравнений (4.76) можно будет записать в виде
2 = XjAjj
J
или
2 2
i j
(4.78)
Каждая часть уравнения (4.78) имеет вид элемента матрицы являющейся
произведением двух матриц: левая часть - произведением матрицы А на
матрицу X с элементами Xjk, а правая-произведением матрицы X на матрицу с
элементами §дХл. Последняя матрица является диагональной и её элементы
суть собственные значения матрицы А- Обозначив эту матрицу через X, будем
иметь:
(4.79)
и тогда уравнения (4.78) можно будет записать в виде матричного уравнения
АХ == XX
к 0 0
II 0 ^2 0
0 0 Хз
или, умножая слева на X"
Х-1АХ = Х.
(4.80)
§ 4.6]
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА О ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА
137
Левая часть этого уравнения написана в форме матрицы, подобной матрице А-
[Чтобы привести её к виду (4.41), нужно обозначить X-1 через Y] Таким
образом, уравнение (4.80) позволяет следующим образом сформулировать
задачу об отыскании собственных значений матрицы: нужно найти такую
матрицу, которая преобразовывает данную матрицу А в диагональную.
Элементы полученной диагональной матрицы будут тогда искомыми
собственными значениями.
Докажем теперь несколько простых лемм, касающихся собственных значений
матрицы.
1. Модуль каждого собственного значения равен единице.
Это утверждение следует из ортогональности матрицы А- Следует заметить,
что, хотя все элементы матрицы А являются вещественными, однако корни
характеристического уравнения могут, очевидно, быть комплексными. В этом
случае соответствующие собственные векторы также будут комплексными, и в
реальном физическом пространстве такому вектору не будет соответствовать
никакой образ. Величина комплексного вектора определяется не суммой
квадратов его составляющих, а суммой квадратов модулей его составляющих.
Поэтому можно написать:
I Y|2-H F|2 + |zp = /?* • К = |К|2. (4.81)
Но вследствие ортогональности рассматриваемой матрицы модуль комплексного
вектора R не должен изменяться во время преобразования. Поэтому будем
иметь:
R*' R' = Я* ¦ R.
Но если R является собственным вектором, то
r*' . r' = а*мг*. r,
и следовательно,
Х*Х=1, (4.82)
что и требовалось доказать. Конечно, эта лемма ничего не говорит об
аргументе числа X.
2. Если ортогональная квадратная матрица третьего порядка является
вешуственной, то по крайней мере одно из её собственных значений также
является вещественным.
Характеристическое уравнение (4.77) является кубическим уравнением вида
X3 + W,2-|-a + flf = 0, (4.83)
и так как матрица А является вещественной, то все его коэффициенты тоже
будут вещественными. Но при больших отрицательных л левая часть уравнения
(4.83) будет отрицательной, а при больших положительных X она будет
положительной. Следовз-
138
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 4
тельно, график функции, изображаемой этим кубическим полиномом, должен по
крайней мере один раз пересекать ось абсцисс между X = - со и Х=-[-оо,
что и доказывает данную лемму. Согласно
лемме 1 этот вещественный корень может быть равен только -|-1 или -1.
Детерминант матрицы X равен произведению трёх собственных значений Xt,
Х2, Х3. Но так как детерминант любой матрицы инвариантен в отношении
подобных преобразований, то это произведение равно также детерминанту
матрицы А:
XiX2X3 - | А |
Следовательно, оно может иметь только два значения: -(-1 или -1. Лемма 3,
которую мы сейчас докажем, устанавливает, что значение - 1 должно быть
исключено.
3. Произведение корней векового детерминанта должно при всех возможных
перемещениях твёрдого тела быть равным -j- 1. Рассмотрим простейшую
матрицу с детерминантом, равным - 1:
Рис. 43. Г рафик функции, стоящей в левой части уравнения (4.83).
- 1 0 0
s = 0 - 1 0
0 0 _ 1
Преобразование S изменяет знак каждой из составляющих вектора. Можно
